2011年6月1日水曜日

やさしいピタゴラスの定理(三平方の定理)の証明

(証明のポイント)
ピタゴラスの定理の証明は、つぎの(斜辺が1の)直角三角形で、
(d×d)+(e×e)=1
を証明すれば十分な証明になります。

そのため、斜辺の長さが1の直角三角形を、斜辺に垂直な線(点線)で2つに分けると簡単に証明できる。
2つに分けられた線の長さはdとe


(証明開始)
問題の図形を斜辺に垂直な線(点線)で2つに分けます。
点線の左と右の三角形の底辺のながさをたすとながさが1の斜辺になります。

ここで、以下で計算するように、
点線の左の直角三角形の底辺のながさは、(d×d)であって、
点線の右の直角三角形の底辺のながさは、(e×e)ですので、
(d×d)+(e×e)=1
がなりたちます。

以下で、それぞれの長さを順に計算します。

(1)まず、左の直角三角形の底辺のながさをしらべます。
左の直角三角形は、元の大きな直角三角形と角度がおなじ三角形ですから
元の大きな直角三角形と相似な三角形です。

左の直角三角形の斜辺のながさが元の直角三角形のd倍ですから
直角三角形の底辺を分割した左側の線分のながさは、
元の直角三角形の底辺のながさdをd倍したながさの
(d×d)
になります。

(2)どうようにして、
直角三角形の底辺を分割した右側の線分の長さは、
(e×e)
になります。
(証明おわり)

リンク:
(高校)三平方の定理
三角形の内角の和が180のやさしい証明
中学数学一覧
三平方の定理の証明集
高校数学の目次

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