2011年6月26日日曜日

微妙な合同の条件

三角形の合同の条件は、中学で以下の3つを教わったと思います。

三辺が等しい場合

二角とその間の辺が等しい場合

二辺とその間の角度が等しい場合

【合同の条件(微妙なもの)】以下で、合同の条件で微妙なものを考えます。

2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合、はどうでしょうか。

この条件が成り立つ場合、2つの三角形が合同になる場合もありますが、
上の図のように、合同にならない場合もあります。

上の条件だけでは、必ずしも合同にならない場合もあるのです。

そのため、この条件を以下のように微妙に修正することで、合同の条件が得られます。
上図のように、
(1)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの90°以上の角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しい場合は、
三角形は合同になります。
(学校で教わる条件としては、角度βが直角の場合を、合同の条件として教わっています。)

もう1つの合同の条件もあります。
(2)2つの三角形ABCと三角形DEFを比べて、
1つの角度βと、その角を一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、c<bの場合は、
三角形は合同になります。

(3)更に、下図のように、
角度θを90度以下であるものとして角度を制限すると、
これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以下の場合は、
三角形は合同になります。

(4)同様に、
下図のように、
その角度θを90度以上であるものに角度を制限する場合でも、
これが合同の条件になります。
すなわち、
1つの角度βと、その角βを一端に持つ辺の長さcと、その角をいずれの端にも持たない辺の長さbが等しく、
かつ、辺cの両端以外の頂点の角度θが90度以上の場合は、
三角形は合同になります。

(注意)これらの合同の条件は、相似の条件にも利用できると考えます。

リンク:中学数学
リンク:「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」
リンク:高校数学の目次

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