2016年9月27日火曜日

三角形の面積を外接円の半径を使って求める

第4講「図形の計量」(3)空間図形への応用
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問43】⊿ABCの3辺をa,b,c,面積をS,・・・外接円の半径をRとすると、次の関係が成立することを示しなさい。
(式1) S=(abc)/(4R)

【解答1】
(解答おわり)
この問題は、上の式のように、正弦定理を使って計算できます。
この結果の答えが面白いのでおぼえておいても良いですが、
答えをおぼえるよりは、この解き方の方がおぼえやすいと思います。

【解答2】
上図の三角形の頂点Aの辺BC上の高さをhとする。
すると、相似な図形を利用して以下の関係が導ける。
(式2) h/c=b/(2R)
また、三角形の面積Sは以下の式であらわせる。
(式3) 2S=ah
式3に式2を代入してhを消去する。
2S=abc/(2R)
S=abc/(4R)
(解答おわり)

リンク:
三角形の面積(二辺侠角)
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
リンク:正弦定理
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
リンク:高校数学(三角比・図形)一覧
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二辺挟角から残りの辺を求める

【問題1】の一部:下図の長さxを求める。

【解答】
二辺挟角がわかっている三角形の残りの辺の長さは、余弦定理から求められます。
上図で、長さxは、余弦定理から求められます。
です。
(解答おわり)

 余弦定理は、上図のように三平方の定理を使って三角形の残りの辺の長さを求める式を導いた答えの式です。
余弦定理を確実におぼえにくい人は、
上図の式ですばやく余弦定理が計算できます。

 これより速く余弦定理を導き出して思い出す方法は、三角形の辺の二乗の引き算の公式を変形して余弦定理を導き出して思い出しましょう。
(これが余弦定理)
 この余弦定理の導き出し方の方が、もっと速やかに余弦定理を導き出して思い出せるので、この方法で余弦定理を導き出して思い出すように練習してください。そうすれば、余弦定理が確実に身につくと思います。

【別解(その1)】
三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って、以下の様にして問題を解くことができます。
(解答おわり)

【別解(その2)】
ベクトルの内積を余弦定理より先に学んでベクトルの内積で余弦定理を導き出した学生は、この問題も、以下の様に、余弦定理を使わずベクトルの内積により答えを計算できます。
(解答おわり)

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三角形の面積(二辺夾角)

第4講「図形の計量」(1)三角形の面積
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

上図のように、正弦(sin)を使うと二辺侠角から平行四辺形の面積が得られます。

平行四辺形の面積ah=ac・sin(θ)
であらわせます。
平行四辺形の面積を半分にすると三角形ABCの面積が得られます。
また、その三角形の面積ah/2を、∠Aを使って表わすこともでき、
辺ACの長さ=bとして、以下の式も成り立ちます。


リンク:
三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
三角形の面積を三辺から求める公式
高校数学[三角比・平面図形]一覧
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2016年9月25日日曜日

三角形の辺の二乗の引き算の公式に係る問題


【問題】
 上の三角形ABCにおいて、次の等式を証明しなさい。

【解答】
(証明おわり)

(補足)
この問題は、以下の、三角形の2辺の二乗の差の公式に係る問題です。
【三角形の辺の二乗の引き算の公式】
(以上が、三角形の辺の二乗の引き算の公式)
 この三角形の辺の二乗の引き算の公式は、かなり多くの問題を解くのに役立つ万能の公式です。種々の問題を解く際に、この公式を使うよう試してみてください。

(第2の解答の方針)
この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。
この左辺が0になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、0になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題の解答用紙には書かない、計算用紙に書く計算(自分が納得して計算する)の細部を書きます。
(計算にはリズムがあります。計算用紙に書く自分の計算では、計算のリズムを乱す難しい式の変換はしないで、少しづつ式を変形するのが計算のコツです。)

(解答:証明開始)
ここでcos(B)を(第2)余弦定理で変換します。
《cosBに着目して置き換える事が重要。(ca・cosB)のまとめ置きかえは変換の自由度が低いので覚える価値低》
ここでcos(A)を(第2)余弦定理で変換します。
《以下の計算は、以下の2行は暗算により省略可能》
《以下の2~3行は暗算により省略することも可能》
(証明おわり)

以上の計算で、式を変形するとき、カッコをたくさん使って計算するのがコツです。カッコをつけ忘れないよう注意して計算してください。

【別解】
以上とは異なる発想で、この等式を以下のようにして解くこともできます。
この式から、変数cを減らします。それは、以下の、第1余弦定理を利用します。
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線で辺cを分割した各線分の長さは、
a・cos(B)とb・cos(A)です。
そのため、以下の式がなりたちます(第1余弦定理)。
c=a・cos(B)+b・cos(A)
この式を先の式に代入して変数cを減らします。
この式を変形します。
-(a・sin(B))2+(b・sin(A))2=0,
ここで、a・sin(B)も、b・sin(A)も、ともに、
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線の長さをあらわしますので、両者は等しいです(正弦定理)。
a・sin(B)=b・sin(A),
そのため、
-(a・sin(B))2+(b・sin(A))2=0,
がなりたります。
(証明おわり)

【更に別解】

を証明する。
この式の左辺をabcで割り算した式をFとする。
以下の2つの余弦定理を代入する。

これをFに代入すると、

(証明おわり)

リンク:
三角形の辺と角の等式をベクトルで証明
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
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余弦定理の2番目にやさしい覚え方

「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)を確実におぼえられない人のために、素早く余弦定理を導き出す計算方法を考えてみました。

この式は「拡張三平方の定理」として覚えて欲しい。
上の計算のポイントは、
上の図のような三角形を考えて、
三角形の左右の斜辺の二乗どうしの引き算をすると、
点Dで分割された底辺の長さの二乗どうしの引き算になります(三角形の辺の二乗の引き算の公式)。

この式のxを余弦c*cosθであらわすと(第2)余弦定理になります。
+a-2c・a・cosB

この計算過程をおぼえておけば、すぐ余弦定理を導くことができる(余弦定理が確実に出てくる)ようになります。

(辺の二乗の引き算の公式を利用する)
 上の式の途中の式を、辺の二乗の引き算の公式として覚えて、以下の図と式を書いて余弦定理を速やかに導き出したら良いと考えます。
(以上が、余弦定理)

【三角形の辺の二乗の引き算の公式】
 (以上が、辺の二乗の引き算の公式)
 この公式の証明は、∠Cが90度より小さくても、大きくても、同じ上の式で証明でき、∠Cによる場合分けは不要です。
 (三角形の辺の二乗の引き算の公式は覚え易い)
 三角形の辺の二乗の引き算の公式は、以下の図の正方形①②③を心が思い描いて心が公式を導き出すので、覚え易い(導き出し易い)です。
  公式の導き出し方を覚えるには、公式を導く過程で使われているこの様に隠れている公式を発見して、その隠れた公式を覚えると良いです。隠れた公式を発見して覚えて使うことで、公式の導き出し方を覚え易くするのです。

【1番やさしい覚え方?】 
(以上が余弦定理)
 この導き出し方よりも、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えて使う余弦定理の導き出し方の方が、直角三角形も顕わには意識しない単純な導き出し方なので、余弦定理の一番覚え易い導き出し方かもしれません。

 また、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えて使うと余弦定理が楽に導けるので、余弦定理を使って解くべき問題は、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使えば解けるのではないかと考えられます。
 実際、余弦定理を使って解いている問題は、ことごとく、三角形の辺の二乗に引き算の公式を使って解けます。三角形の辺の二乗の引き算の公式には、三角形の2辺の1辺への射影の長さの関係を表わす、射影の基本的特徴を利用できるようにする特徴があります。その特徴が、余弦定理と共通する、射影を利用して問題を解き易くする特徴だと考えています。(射影を利用するこの特徴は、ベクトルの内積の計算とも共通した特徴です。)
 むしろ、三角形の辺の二乗の引き算の公式の方が余弦定理よりも、問題を解くために使い易い公式だと思う。
 そのため、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば、余弦定理を覚えていなくても、問題を解くのに支障がありません。そういう意味で、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば、余弦定理を覚え無いでも良い事がわかりました。
 そもそも、三角形の辺の二乗の引き算の公式と、余弦定理の式は、以下の式の1つの変形だけで結び付いている等価な式です。両者は、式を変形して形を変えただけの同じ式だと言って良いと思います。

(結論)
 余弦定理も、余弦定理を使って導き出すその他の定理も、等しく、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って導き出すようにしましょう。

(数学の公式の覚え方の注意)
 中学生のときは数学ができたのに、高校生になると公式が覚えられず(覚えても時が経つと忘れて)数学ができなくなったと感じて数学をあきらめて脱落する学生が多いようです。そうなるのは、中学生のときから数学の公式の間違った覚え方を身につけ、それが現実の数学の公式群を覚えるのに通用しなくなるからだと考えます。
 余弦定理をごろ合わせで覚えるのは公式の間違った覚え方です。上で説明した様に、毎回、式を展開して、余弦定理を導き出して使うのが、正しい、余弦定理の覚え方です。
 式を展開するだけでは、何も覚えていない様に見えますが、実はそうでは無く、式を展開する毎に、その正しい式の展開の手順を無意識に覚えているのです。そういうふうに公式を覚えるのが、 高校生になった後でも数学の学習から脱落しない公式の正しい覚え方だと思います。

リンク:
この定理を覚えると(それに似ている)余弦定理を忘れます。
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)
余弦定理の2番目にやさしい覚え方
拡張三平方の定理
裏正弦定理
正弦定理
三角形の辺と角の等式の証明
余弦定理を使って二辺侠角から残りの辺を求める
余弦定理を使って三角形の2角と1辺から、残りの辺を求める
余弦定理 
正弦定理の応用(三角形の面積)
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
(高校)tanθを使った三平方の定理
高校数学(三角比・図形)一覧
高校数学の目次

余弦定理の1番やさしい覚え方

ページ内リンク
▷【究極の導出方法】


 中学生の時は数学ができたのに、高校生になって、余弦定理などが覚えられない(覚えた定理を時が経つと忘れてしまう)ので数学の勉強で挫折する学生が多いらしい。

 最初教えられた時には覚えていたのに、時がたつと忘れている事に気づき、最初に覚えた記憶が戻らない。ただ覚えているだけの公式を何回思い出しても、だんだん記憶が劣化し思い出した公式に疑問を抱き公式を忘れていきます。
 新しい公式を知ると、その新しい公式を覚えるために、その新しい公式に似ている旧くから覚えていた公式は、新しい公式を覚える必要のため、忘れ去られます


 「覚えられない」で挫折するのは、数学を、公式を覚える学問だと認識していたから、急に数学が出来なくなったものと誤解するからだと思います。しかし、それは間違った認識だと思います。数学は公式を覚える学問では無く、公式を導き出す学問だと思います。

 中学生のときから、数学の公式は覚えられない(時が経つと忘れる)ものだと知っていた学生は、公式が覚えられないのは当たり前の事だと認識しています。そして、公式を覚えるというより、公式を導き出して使う練習をして来ていたと思います。
 公式を教わって覚えて、時がたつと公式を忘れてしまう学生は、外の電源につないで働くパソコンの様で、公式を教わった時に得たエネルギーで記憶を維持するが、復習しても公式の理解は増さず、自力では記憶するエネルギーを生み出せず、時が経つと記憶が消えてしまう。
 公式を自力で導き出して再現できる学生は、自己発電ができるパソコンのようで、自力で公式を導き出す都度、公式の理解が深まり、記憶を維持するエネルギーが発電され、いつまでも記憶が保たれる。
 余弦定理を忘れないようにするには、自力で余弦定理を導き出す作業が欠かせません。
 高校生になって初めて「公式が覚えられない(公式は時がたつと忘れてしまうもの)」という真実に気付いた学生は、挫折するのでは無く、公式を導き出すことを覚えて欲しいと思います。
上図の様に、
(1)先ず、直角三角形ABDに関する三平方の定理を使って、未知数xを使ってADの長さをあらわします。
(2)次に、その式も使って、直角三角形ADCに関する三平方の定理を以下の式であらわし整理します。

(3)こうして、補助線ADを引いて作成した全ての直角三角形を使って未知数xを三辺a,b,cから計算する方程式を導き出します。

この式は「拡張三平方の定理」として覚えて欲しい。

ここで、
X=c・cosB
であることを代入する。

これを(第2)余弦定理と呼びます。

以下の計算で、他の第2余弦定理が導けます。
(補助線CDを使って作った全ての直角三角形を利用して、もう1つの(第2)余弦定理を導くことができました)

(補足)
もっと素直に未知の長さxを求めようとする以下の計算の方が発想し易く優れているかもしれない。
この式3の「拡張三平方の定理」の導出方法を覚え、それを余弦定理と解釈して余弦定理の導出方法を覚えて欲しい。

ココをクリックすると、1行の式の変形だけで余弦定理を速やかに導ける、簡単に覚えられる等価な式があります。(余弦定理の2番目にやさしい覚え方)

【余弦定理のやさしい覚え方】

上の図で、
c=b・cosA+a・cosB  (第1余弦定理)
です。
この式をa・bで割り算すると、

同様にして、
が得られます。
式1+式2-式3を計算すると、
となり、(第2)余弦定理が得られました。
この式4の形の余弦定理は、式の2乗を展開する計算をせず、加減算だけで式4を導き出しているので、
この式4の導き出し方を覚えることが、
多分、余弦定理(その導き出し方)をやさしく覚えられるのではないかと考えます。

【数式を見るコツ】
上の第2余弦定理の式、
これは複雑な式に見えますが、以下のように考えると、この式が簡単な式に見えてきます。

三角形の辺の長さをあらわすa,b,cは長さ(mとかcm)の単位を持ちます。
一方、cosBは、単位が1です。これは、無次元量とも呼びます。
長さの単位を累乗した累乗の程度は、式の左右で必ず同じになります。
このことを、「式の左右では単位の次元が同じになる」と言います。

式4の右辺は1/bがありますから、1/[長さ]の次元を持ちます。
式4の左辺は、c等を、(abc)で割り算しますので、
[長さ]/[長さ]=1/[長さ]
の次元になり、式の右辺と長さの次元が同じになります。
式4の左辺は右辺と長さの次元が一致するためにはc等だけでは不足していて、(abc)で割り算する必要がありました。

式の左右で単位の次元が必ず同じにならなければならないことを意識すると、式4は、こうでなければならないと納得できる式に見えてきます。

【究極の導出方法】
 余弦定理を習うより先にベクトルの内積を学んだ方が良いと助言した当ブログの助言に応じて先にベクトルを学んだ学生は、以下の様にしてベクトルの内積を使って余弦定理を導き出すことができます
 すなわち、「やさしい高校数学《数Ⅱ・B》の9章「ベクトル」の737ページから772ページまで読むだけで(1日で読めると思います)。
 そこまで読んだら、以下のようにしてベクトルの内積を使って余弦定理を導き出します。

この導出方法で得た式1で余弦定理を表わす式の形は、直接に余弦定理を覚える時にも覚えやすい形をしていると思います。

この導出方法について、あるブログでは:
覚えなくていい「余弦定理」
と言っています。

リンク: 
この定理を覚えると(それに似ている)余弦定理を忘れます。
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
拡張三平方の定理
余弦定理の2番目にやさしい覚え方
裏正弦定理
正弦定理
三角形の辺と角の等式の証明
余弦定理を使って二辺侠角から残りの辺を求める
余弦定理を使って三角形の2角と1辺から、残りの辺を求める
余弦定理 
正弦定理の応用(三角形の面積)
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
(高校)tanθを使った三平方の定理
高校数学(三角比・図形)一覧
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正弦定理の覚え方

 中学生の時は数学ができたのに、高校生になって、正弦定理や余弦定理が覚えられない(時が経つと忘れてしまう)ので数学の勉強で挫折する学生が多いらしい。
 「覚えられない(忘れてしまう)」で挫折するのは、数学を、公式を覚える学問だと認識していたから、急に数学が出来なくなったものと誤解するからだと思います。しかし、それは間違った認識だと思います。数学は公式を覚える学問では無く、公式を導き出す学問だと思います。
 中学生のときから、数学の公式は覚えられない(時が経つと忘れる)ものだと知っていた学生は、公式が覚えられない(忘れる)のは当たり前の事だと認識しています。そして、公式を覚えるというより、公式を導き出して使う練習をして来ていたと思います。
 そのため、高校生になって初めて「公式が覚えられない」という真実に気付いた学生は、挫折するのでは無く、公式を導き出すことを覚えて欲しいと思います。

下図のように三角形の周りに、その外接円とその円の中心(外心)とを描きます。
上の図で、三角形の頂点の角度∠A=θが外接円の円周角であり、それは中心角∠BOCの2分の1であることに注目すると、
三角形の外接円の半径Rと、三角形の頂点の角度∠A=θとその頂点Aへの対辺の長さaとの間に、以下の関係式が成り立つことがわかります。
すなわち、∠A=θの対辺の長さをaとすると、
この式を変形すると、
です。
同様に、
∠Bの対辺の長さをbとし、
∠Cの対辺の長さをcとすると、
が成り立ちます。
これらをまとめて正弦定理と呼びます。
正弦定理は、上の図の様に、円周角の定理と密接に結びついた定理です。

 円周角に関係が深い問題は正弦定理を使って解きましょう。

(後に学ぶ余弦定理は円周角に関する問題を解くのが苦手で、高校2年で学ぶベクトル方程式も円周角に関する問題を解くのが苦手です。それらの問題に正弦定理を使って解いてください。) 

以下の図を書けば、正弦定理を確実に思い出すことができると思います。
 上図の円と直角二等辺三角形を思い浮かべ、上の正弦定理の式を連想して思い出すようにしましょう。
 以下のシンボルマークを計算用紙の片隅に書いて、連想して正弦定理を思い出しましょう。

正弦定理は、三角形の辺と角度の間の以下の関係式も正弦定理です。
【正弦定理のやさしい覚え方】
上の図で、a・sin(B)も、b・sin(A)も、ともに、
頂点Cから辺cに垂直に下ろした線の長さをあらわしますので、両者は等しいです。
a・sin(B)=b・sin(A) (正弦定理)
この式のように、外接円の半径を省いた形の正弦定理でも、十分に応用できます。

また、正弦定理とその他の定理を合わせると、ここをクリックした先のページの様に、三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表すことができます。

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裏正弦定理
余弦定理の1番やさしい覚え方
余弦定理の2番目にやさしい覚え方 
余弦定理の確実な思い出し方
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法

三角形の重心
三角形の垂心
三角形の内心
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