2016年9月25日日曜日

余弦定理の2番目にやさしい覚え方

「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)を確実におぼえられない人のために、素早く余弦定理を導き出す計算方法を考えてみました。
この式は「拡張三平方の定理」として覚えて欲しい。
上の計算のポイントは、
上の図のような三角形を考えて、
三角形の左右の斜辺の二乗どうしの引き算をすると、
点Dで分割された底辺の長さの二乗どうしの引き算になります(三角形の辺の二乗の引き算の公式)。
二乗どうしの引き算はすぐ因数分解でき、
《つまり、公式P-Q=(P-Q)(P+Q)を使い、》
因数分解するとすぐXの一次式になることを利用します。

この式のxを余弦c*cosθであらわすと(第2)余弦定理になります。
+a-2c・a・cosB
この計算は二乗の式を展開しないので、計算が速くできます。

あるいは、以下の様に二乗の式の展開を行なっても良いかもしれない。

この計算過程をおぼえておけば、
すぐ余弦定理を導くことができる(余弦定理が確実に出てくる)ようになります。

(辺の二乗の引き算の公式を利用する)
 上の式の途中の式を、辺の二乗の引き算の公式として覚えて、以下の図と式を書いて余弦定理を速やかに導き出したら良いと考えます。
(以上が、余弦定理)

【三角形の辺の二乗の引き算の公式】
 (以上が、辺の二乗の引き算の公式)
 この公式の証明は、∠Cが90度より小さくても、大きくても、同じ上の式で証明でき、∠Cによる場合分けは不要です。
 (三角形の辺の二乗の引き算の公式は覚え易い)
 三角形の辺の二乗の引き算の公式は、以下の図の正方形①②③を心が思い描いて心が公式を導き出すので、覚え易い(導き出し易い)です。
  公式の導き出し方を覚えるには、公式を導く過程で使われているこの様に隠れている公式を発見して、その隠れた公式を覚えると良いです。隠れた公式を発見して覚えて使うことで、公式の導き出し方を覚え易くするのです。

【1番やさしい覚え方?】 
(以上が余弦定理)
 この導き出し方よりも、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えて使う余弦定理の導き出し方の方が、直角三角形も顕わには意識しない単純な導き出し方なので、余弦定理の一番覚え易い導き出し方かもしれません。

 また、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えて使うと余弦定理が楽に導けるので、余弦定理を使って解くべき問題は、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使えば解けるのではないかと考えられます。
 実際、余弦定理を使って解いている問題は、ことごとく、三角形の辺の二乗に引き算の公式を使って解けます。三角形の辺の二乗の引き算の公式には、三角形の2辺の1辺への射影の長さの関係を表わす、射影の基本的特徴を利用できるようにする特徴があります。その特徴が、余弦定理と共通する、射影を利用して問題を解き易くする特徴だと考えています。(射影を利用するこの特徴は、ベクトルの内積の計算とも共通した特徴です。)
 むしろ、三角形の辺の二乗の引き算の公式の方が余弦定理よりも、問題を解くために使い易い公式だと思う。
 そのため、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば、余弦定理を覚えていなくても、問題を解くのに支障がありません。そういう意味で、三角形の辺の二乗の引き算の公式を覚えていれば、余弦定理を覚え無いでも良い事がわかりました。
 そもそも、三角形の辺の二乗の引き算の公式と、余弦定理の式は、以下の式の1つの変形だけで結び付いている等価な式です。両者は、式を変形して形を変えただけの同じ式だと言って良いと思います。

(結論)
 余弦定理も、余弦定理を使って導き出すその他の定理も、等しく、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って導き出すようにしましょう。

リンク:
この定理を覚えると(それに似ている)余弦定理を忘れます。
ベクトルによる三角形の余弦定理のやさしい覚え方
第2余弦定理の公式(一番やさしい覚え方も有り)
余弦定理の2番目にやさしい覚え方
拡張三平方の定理
裏正弦定理
正弦定理
三角形の辺と角の等式の証明
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余弦定理を使って三角形の2角と1辺から、残りの辺を求める
余弦定理 
正弦定理の応用(三角形の面積)
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