三角比で現れた二重根号の外し方

第１講「三角比の考え」（５）サイン，コサインの応用
「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の５１ページ
三角比をあらわす式：

が得られました。
しかし、この数は二重根号で複雑な形です。

この二重根号の解き方は、通常の検定教科書には記載されていないそうですが、
佐藤の数学教科書の５１ページにその解き方が書いてありました。

ここでは、その解き方を、その説明よりも詳しく解説します。

【二重根号の外し方（方法１）】
先ず、

と変形し、その右側の項の形にします。右側の項を、

と仮定した数ｘとａを求めます。

（以下の計算方針では、√３という数を含んでいない数（ｘ）と（ａ）を使って表わせる場合の解だけを求める計算をします。
√３を（ｘ）か（ａ）が含まざるを得なかったら、そこで計算を終わりにする覚悟をして、以下の計算をします）

この式の両辺を二乗します。

 

（ｘ）と（ａ）とが√３を含んでいない数であらわされるならば、

４＝ａ・（１＋３ｘ）　　　（１）
と、

がなりたつと考えることができます。
２つ目の式を更に簡単にすると、

１＝ａ^２ｘ　　　（２）
になります。

（２）より、

（３）を（１）に代入します。

この式から、

この式４を因数分解して解くと：
（ａ－１）（ａ－３）＝０
ａ＝１　or　３

ａ＝１の場合を（３）に代入すると、
ｘ＝１
よって、

です。
（ａ＝３の場合も：ｘ＝１／９になって、それを代入すると同じ答えになります） 

そのため、

になりました。

よって、

です。

【二重根号の外し方（方法２）】
二重根号を外すもう１つの方法を説明します。

という形をしている２重根号は、以下の条件が成り立つ場合に外すことができます。
二重根号は外せない場合もありますので、このやり方で外せなかった場合は、それは、二重根号が外せない場合だと思っても良いです。
ａ＝ｘ＋ｙ　　　（５）
ｂ＝ｘ・ｙ　　　（６）
となるｘとｙを探します。
そのｘとｙがあれば、

です。

となるからです。
式５と６の解のｘ、ｙを求めるということは、
ｘ^２－ａ・ｘ＋ｂ＝０　　　（７）
の解ｘ、ｙを求めることと同じです。この式７は、式４と同じ式になります。

具体的な今回の以下の問題の場合は、以下のようにして解きます。

の場合は、

と変形します。
この様に、ルートの中の式は、ルートの２倍の項を含む式に変形して、答えを求めます。

を解く場合は、
（ｘ^２－４・ｘ＋３＝０　（式４）を解くのと同じですが）
ｘ＋ｙ＝　ａ＝４＝３＋１
ｘｙ＝　　　ｂ＝３＝３・１
がなりたちますので
ｘ＝３
ｙ＝１
が見つかりました。

です。
そのため、

です。

リンク：二重根号の外し方の【簡易な計算方法】
リンク：高校数学の目次