2017年12月2日土曜日

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2016年10月23日日曜日

2直線の関係(三角形の垂心の座標)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問】下図のようにA点が原点Oにあり、BCがX座標軸に平行な三角形ABCの座標を図のように定義した上で、その三角形の垂心Dの座標を求めよ。

(1)点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前BとCを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです。
(2) 高校2年になると、座標点Bの座標値の名前が、名前Bを引き継いだbなどの記号であらわすので、線分OBの長さをbで表します。
 三角形の頂点Bに対向する辺OCの長さは、高校1年までとは違って、b以外の記号で(上図ではcと)表します。

【解答】
 上図のように、先ず、三角形の辺の直線の方程式を求める。
次に、その方程式のxの係数とyの係数を入れ替えて、一方の係数の正負を逆にすることで、その直線に垂直な直線の方程式を計算する。
その結果、2つの垂線の方程式が、以下のとおりに得られる。
(式1)*b-(式2)*cを計算して以下の式を得る。
(注意)D点のx座標が0ということは、AからBCに下ろした垂線にD点が交わることを意味する。すなわち、垂心は3つの直線の交点であることが示されている。
(式3)を式1に代入してy座標を求める。
∴Dの座標は、
上の式の最後の項では、ベクトルAB=ベクトルbとし、ベクトルAC=ベクトルcとした。

上の式の最初の項から、D点の辺BC上の高さは、
である。

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高校数学の目次

チェバの定理

第6講「円の性質」(2)メネラウスの定理(3/3)
「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

定理17 チェバの定理
上の図で
(a1/a2)(b1/b2)(c1/c2)=1
これがチェバの定理です。

以下、この定理を証明します。
【証明】
上図の赤線のように補助線を引きます。
すると、
△RAX∽△RBYから
u=(c2/c1)m ・・・(1)
△QAX∽△QCZから
t=(b1/b2)m ・・・(2)
△XBY∽△XZCから
t=(a2/a1)u ・・・(3)

式(1)と式(2)からmを消去する。
(u/t)=(c2/c1)(b2/b1) ・・・(4)

以下で、式(4)と式(3)からu/tを消去する。
先ず、式(3)から
(t/u)=(a2/a1)
これを式(4)に代入する。
(a1/a2)=(c2/c1)(b2/b1)

(a1/a2)(c1/c2)(b1/b2)=1
(証明おわり)

チェバの定理の問題点として、以下のあいまいさがあります。以下の図は全てチェバの定理です。これらの場合を全て証明しましたか?

(チェバの定理は、ある使わない点Mと三角形ABCの各々の頂点を結ぶ3本の点線を基準にし、
その各点線まで三角形の所定の辺を延長した図形に対して成り立つ定理です。
3本の点線が三角形の内点Mで束ねられ3辺に交わる場合(内チェバ)と、
3本の点線が三角形の外点Mで束ねられ1辺のみと交わる場合(外チェバ)と
の2種類があります。)



上図の様に、チェバの定理が適用できる図形のパターンは、三角形ABCの辺が延長される辺の数が偶数個あるというパターンがあります。
(一方で、メネラウスの定理が適用できる図形のパターンは、ここをクリックした先にあるように、三角形ABCの辺が延長される辺の数が奇数個あるというパターンがあります。)

【チェバの定理の定義】
 高校数学でのチェバの定理の定義があいまいです。定理の定義がはっきりしないので、それは、定理の形を成していません。
 そのため、以下でチェバの定理の定義を明確にします。
チェバの定理は:
(1)上の5つの図において、三角形ABCの各辺毎の3つの直線AB,BC,CAと、1つの点M(座標原点)から、各点A,B,Cまで引いた、点線で表した3つの直線(斜交座標軸線)との交点(斜交座標軸点)D,E,Fを定める。
(2)三角形ABCの各辺毎の3つの直線上における、交点間の線分の長さの間に、以下の関係がある。
(2a)全ての交点を、三角形ABCの各辺毎の3つの直線同士の交差点である(頂点)A,B,Cと、その(頂点)で無い点の、(斜交座標軸点)D,E,Fとに分類する。
(2b)そして、全ての交点を、三角形ABCの各辺毎の3つの直線上をたどる(斜交座標軸線はたどら無い)一筆書きの順で、以下の順に交点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、その定理の式を定義する。

例えば:
(頂点A)→(斜交座標軸点D)→
(頂点B)→(斜交座標軸点E)→
(頂点C)→(斜交座標軸点F)→(最初に選んだ頂点A)
の順に選ぶ。
以下の式のように、その選んだ順に点を結んだ線分の間の式を記述し、その式の値を1とする。(ただし、線分の正負の方向性は定めないものとする)
この式がチェバの定理を表す。


(チェバの定理の定義おわり)

【究極の証明方法】 
補助線を引いてチェバの定理を証明するのが面倒くさいので、以下の様に3次元空間を使って証明します。
この平面図形を3次元空間に配置し、
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。

上図のように直線BXQの高さを(0)にし、点Aの高さを(b2)にし、点Cの高さを(-b1)にします。

次に、この図の点Pの高さを求めます。
AX:XPが求められました。

この式を見ると、式にc1とc2がありません。
図形の左右を入れ替えるとbとcが置き換わりますので、
この式をcであらわすこともできることがわかります。

そのため、同様にして、AX:XPをcであらわした式を求めます。


AX:XPをあわらした以上の2つの式を連立します。
(証明おわり)

《チェバの定理の適用の仕方》
 与えられた図形に、チェバの定理の定義に従って、以下の様にチェバの定理を当てはめれば良い。
(1)長さが書き込んである「3つの直線」を求める。
(2)その3つの直線の交差点である3つの(頂点)を求める。
(3)その3つの頂点まで直線で結ぶ原点Mを抽出する。その原点Mと各頂点を結ぶ直線を斜交座標軸線と認識する。
(4)与えられた図形の点を、3つの直線同士の交差点である(頂点)と、それ以外の、3つの直線と斜交座標軸線との交点(斜交座標軸点)とに分類する。斜交座標軸点が1直線上に並ばないならばチェバの定理が適用できる。もし、斜交座標軸点が一直線上に並ぶ場合は、チェバの定理では無く、メネラウスの定理を適用すべきである。
(5)(頂点)と(斜交座標軸点)を、「3つの直線」上をたどる(斜交座標軸線はたどら無い)一筆書きの順で、以下の順に点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、チェバの定理の式を書く。

(注意)最初に選ぶ点は(斜交座標軸点)では無いことに注意。

リンク:メネラウスの定理等
リンク:高校数学の目次

メネラウスの定理(2/3)

「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

以下の問14をもう1度解きます。
【問14】△ABCの辺AB,ACをそれぞれ1:2、2:3に内分する点をD,Eとし,BEとCDの交点をFとするとき、
(1)DF:FCを求めよ。

【解答】
メネラウスの定理を証明するための補助線は、他の位置に引いても、
線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られます。
そのため、図形のどこにその補助線を引けば良いか、
もう1つの補助線の位置もおぼえておきましょう。

この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のAGであり、DCに平行な線です。

この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
(メネラウスの定理を経由せずに)
直接にこの問14を解きます。

線分AGの長さをmとします。
DF=(DB/AB)m=(2/3)m
FC=(EC/AE)m=(3/2)m

DF/FC=((2/3)m)/((3/2)m)
=4/9

DF:FC=4:9

リンク:メネラウスの定理関係
リンク:高校数学の目次

メネラウスの定理(1/3)

「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【問14】△ABCの辺AB,ACをそれぞれ1:2、2:3に内分する点をD,Eとし,BEとCDの交点をFとするとき、
(1)DF:FCを求めよ。



【解答】
メネラウスの定理は、
補助線を良い位置に引けば、線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られる
という定理です。
そのため、図形のどこに補助線を引けば良いか、
図形が回転した位置にあってもわかるようにおぼえておきましょう。

この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のDGであり、BEに平行な線です。

この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
(メネラウスの定理を経由せずに)
直接にこの問14を解きます。

GE=(DB/AB)・AE=(2/3)AE
DF/FC=GE/EC
=(2/3)AE/EC
=(2/3)・(2/3)
=4/9

DF:FC=4:9

【究極の方法】
 上の解き方では、補助線を引いて問題を解きましたが、その補助線を考えるのも面倒くさいと思います。
 以下の様に考えると、問題をもっと楽に解けます。
 問題の平面図形を3次元空間に配置します。
3次元空間での点の高さを括弧()内に書きます。
上図のように直線BFEの高さを(0)にし、点Aの高さを(6)にします。 

3次元空間における直線ADBにおいて、
AD:DB=1:2
の関係があることから、
点Dの高さは(4)になる。

直線AECにおいて、

AE:EC=2:3
の関係があることから、
点Cの高さは(-9)になる。

直線DFCの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
DF:FC=4:9
(解答おわり)


リンク:メネラウスの定理関係
リンク:高校数学の目次

方べきの定理(の逆)の応用問題1(極と極線の関係)


【問】上の図形で、点Aから円Oへ引いた2つの接線APとAQが円と接する点PとQを通る直線上の点Bを選ぶ。
(点Aと直線PQとの関係は、以下のように名付けられています。すなわち、点Aが極であり直線PQが極線です。)
そのとき、点Bから円Oへ引いた2つの接線BRとBSが円と接する点RとSを結んだ線分RSの延長線が点Aを通ることを証明せよ。

この問題は難問だと思いますので、以下の解答を見て、証明の仕方を覚えるだけで良いと思います。



円の中心をOとする。

円の中心と各点P,Q,R,Sを結ぶ補助線を引く。
その補助線とその補助線の端と接続する各接線とのなす角度は直角である。

補助線OAを引いて、それと線分PQとの交点をTとする。
線分OAと線分PQは直交する。
補助線OBを引いて、それと線分RSとの交点をUとする。
線分OBと線分RSは直交する。

△OTPと△OPAは、いずれも直角三角形で、2角が等しいから相似である。
そのため、
OT:OP=OP:OA
∴ OT・OA=OP  (1)
同様にして、△OURと△ORBは相似な直角三角形であるので、
OU・OB=OR  (2)
円の半径OP=ORである。
この関係を使って、式(1)と式(2)から、以下の関係が得られる。
OT・OA=OU・OB (3)
以下のように、方べきの定理の逆の関係が成り立っている
線分TAの延長線と線分UBの延長線とが点Oで交わり、式(3)の関係があるので、
4点T,A,U,Bは、下図のように、1つの円周上にある。

その新しい円について、
円周角の∠ATB=∠AUB=∠R
∴ UBとUAは直交する。

一方、UBとUSは直交する。
USもUAもUBに直交するので、
USとUAは同一直線上にある。
∴ UAと、点Uを含む線分RSは同一直線上にある。

すなわち、線分RSの延長線が点Aを通る。
(証明終わり)
(この定理の双曲線への応用は、ここをクリックしてジャンプする)。

リンク:
極と極線
ベクトル方程式による極と極線
放物線の極線
放物線の極と極線
複素数平面での円の極と極線
円の性質
方べきの定理の証明
リンク:高校数学の目次

方べきの定理の証明

第6講「円の性質」(1)円周角(2/2) 「(佐藤の)数学教科書[三角比・平面図形編]」(東進ブックス)の学習

【定理15】円の弦ABの延長と円周上の点Tにおける接線が点Pで交わるとき、次のことが成り立つ。
PA・PB=PT
(これを「方べきの定理」と呼ぶ)
【証明】
上図のように書くと、
接弦定理により〇=∠PTA=∠PBT
∠Pは共通だから、
2角相当で、
△PAT∽△PTB

したがって、
PA/PT=PT/PB
すなわち、
PA・PB=PT
(証明おわり)

《点Pが円内にある場合の方べきの定理》



リンク:
方べきの定理(の逆)の応用問題1
円の性質
高校数学の目次