方べきの定理（の逆）の応用問題１（極と極線の関係）

【問】上の図形で、点Ａから円Ｏへ引いた２つの接線ＡＰとＡＱが円と接する点ＰとＱを通る直線上の点Ｂを選ぶ。
（点Ａと直線ＰＱとの関係は、以下のように名付けられています。すなわち、点Ａが極であり直線ＰＱが極線です。）
そのとき、点Ｂから円Ｏへ引いた２つの接線ＢＲとＢＳが円と接する点ＲとＳを結んだ線分ＲＳの延長線が点Ａを通ることを証明せよ。

この問題は難問だと思いますので、以下の解答を見て、証明の仕方を覚えるだけで良いと思います。

円の中心をＯとする。

円の中心と各点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓを結ぶ補助線を引く。
その補助線とその補助線の端と接続する各接線とのなす角度は直角である。

補助線ＯＡを引いて、それと線分ＰＱとの交点をＴとする。
線分ＯＡと線分ＰＱは直交する。
補助線ＯＢを引いて、それと線分ＲＳとの交点をＵとする。
線分ＯＢと線分ＲＳは直交する。

△ＯＴＰと△ＯＰＡは、いずれも直角三角形で、２角が等しいから相似である。
そのため、
ＯＴ：ＯＰ＝ＯＰ：ＯＡ
∴　ＯＴ・ＯＡ＝ＯＰ^２　　（１）
同様にして、△ＯＵＲと△ＯＲＢは相似な直角三角形であるので、
ＯＵ・ＯＢ＝ＯＲ^２　　（２）
円の半径ＯＰ＝ＯＲである。
この関係を使って、式（１）と式（２）から、以下の関係が得られる。
ＯＴ・ＯＡ＝ＯＵ・ＯＢ　（３）
以下のように、方べきの定理の逆の関係が成り立っている
線分ＴＡの延長線と線分ＵＢの延長線とが点Ｏで交わり、式（３）の関係があるので、
４点Ｔ，Ａ，Ｕ，Ｂは、下図のように、１つの円周上にある。

その新しい円について、
円周角の∠ＡＴＢ＝∠ＡＵＢ＝∠Ｒ
∴　ＵＢとＵＡは直交する。

一方、ＵＢとＵＳは直交する。
ＵＳもＵＡもＵＢに直交するので、
ＵＳとＵＡは同一直線上にある。
∴　ＵＡと、点Ｕを含む線分ＲＳは同一直線上にある。

すなわち、線分ＲＳの延長線が点Ａを通る。
（証明終わり）
（この定理の双曲線への応用は、ここをクリックしてジャンプする）。

リンク：
極と極線
ベクトル方程式による極と極線
放物線の極線
放物線の極と極線
複素数平面での円の極と極線
円の性質
方べきの定理の証明
リンク：高校数学の目次