三角形の内心

（三角形の面積と内接円の半径の関係）

三角形の３つの内角の２等分線は、１点で交わり、その点から３辺までの距離は等しい。
その１点を三角形の内心と呼ぶ。
そして、その内心を中心として３辺に接する円を三角形の内接円とよびます。 

【例題】△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃとし、内接円の半径をｒとするとき、△ＡＢＣの面積Ｓは次の式で表わされることを示せ。

Ｓ＝ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ）／２

内接円の中心（内心）をＩとすると、
△ＩＢＣは、底辺ＢＣに対する高さはｒです。
そのため、その面積は　ａ・ｒ／２　です。

同様に、
△ＩＣＡも、底辺ＣＡに対する高さはｒです。
そのため、その面積は　ｂ・ｒ／２　です。

△ＩＡＢも、底辺ＡＢに対する高さはｒです。
そのため、その面積は　ｃ・ｒ／２　です。

以上から、△ＡＢＣの面積Ｓは、
Ｓ＝△ＩＢＣ＋△ＩＣＡ＋△ＩＡＢ
＝ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ）／２
になります。
（例題おわり）

三角形のＩＢＣの三角形ＡＢＣに対する面積比から、内接円の半径ｒが上の式のように、三角形の高さｈから求められる。

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