正四面体の高さと表面積と体積

第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その１／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習

【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。
（１）この正四面体の表面積Ｓと体積Ｖを求めなさい。

この問題を解くためには、下図のように正四面体を書いて、わかる角度と長さをことごとく、（記号と数式で）図に書き込みます。すると答えが見えてきます。

図の②で〇印で書いた線分ＥＧの長さのＥＤに対する３分の１の比は、以下のようにしてわかります。

頂点Ａから底面ＢＣＤに下ろした垂線の足をＧとすると、Ｇを頂点とする３つの三角形、△ＧＢＣと△ＧＣＤと△ＧＤＢは合同になります。

そのため、Ｇを頂点とする△ＧＢＣの面積は、底面ＢＣＤの面積の１／３です。
（三角形ＢＣＤが正三角形で無くても、Ｇが重心ならば、△ＧＢＣの面積は、三角形ＢＣＤの面積の１／３です。）

その面積の比から、△ＧＢＣの高さＧＥは、底面ＤＢＣの高さＤＥの１／３になります。
∴〇印で書いた線分の長さの比が１／３になることがわかりました。

図の③に計算式を記述した正四面体の高さを計算しておきます。
この式の（計算用紙での）計算は、計算のリズムを乱す（自分にとって）難しい変形はしないで、少しづつ式を変形していきます。


図から、正四面体の１つの面（三角形）の面積Ｓ／４は、

∴表面積Ｓ＝（√３）ａ^２

体積Ｖ＝底面積×高さ／３

リンク；
三角錐の体積の公式
三角錐の重心（四面体の重心）
正四面体に外接する球の半径Ｒ
正四面体に内接する球の半径ｒ
正四面体の面が交差する角度
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