外接円の半径Rを三角形の３辺からもとめる

【問】三角形の外接円の半径Rを三角形の３辺からもとめる。

この問題は、三角形の外接円の半径が、正弦定理で三角形の１つの角度と関係していることと、
三角形の１つの角度が、余弦定理で三角形の３辺に関係していること
を使えば解けます。

先ず、正弦定理を思い出します。

この正弦定理から、
（１／Ｒ）＝２ｓｉｎＡ／ａ　　（１）
が得られます。

　次に、三角形の辺の二乗の引き算の公式を変形して余弦定理を導き出して思い出します。

この余弦定理から、
２ｃｏｓＡ／ａ＝（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／（ａｂｃ）　（２）
が得られます。
ｓｉｎＡ^２＋ｃｏｓＡ^２＝１　　（３）
の関係に、この２つの式を代入します。
（１／Ｒ）＝２ｓｉｎＡ／ａ　　（１）
２ｃｏｓＡ／ａ＝（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／（ａｂｃ）　（２）
その代入の準備として、式３を少し変形します。
ｓｉｎＡ^２＋ｃｏｓＡ^２＝１　　（３）
（（２ｓｉｎＡ／ａ）^２＋（２ｃｏｓＡ／ａ）^２）＝（２／ａ）^２ ，
これに、式１と式２を代入します。
（１／Ｒ）^２＋｛（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／（ａｂｃ）｝^２＝（２／ａ）^２

この式を（１／Ｒ）だけを左辺にした式に変形します。
（１／Ｒ）^２
＝（２／ａ）^２－｛（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／（ａｂｃ）｝^２
《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝｛（２／ａ）－（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／（ａｂｃ）｝
｛（２／ａ）＋（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／（ａｂｃ）｝
＝｛（２ｂｃ）－（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）｝
｛（２ｂｃ）＋（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）｝／（ａｂｃ）^２
＝｛（２ｂｃ）－ｂ^２－ｃ^２＋ａ^２｝
｛（２ｂｃ）＋ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２｝／（ａｂｃ）^２
＝｛－（ｂ－ｃ）^２＋ａ^２｝｛（ｂ＋ｃ）^２－ａ^２）｝／（ａｂｃ）^２
《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝｛（－（ｂ－ｃ）＋ａ）（（ｂ－ｃ）＋ａ）｝
｛（（ｂ＋ｃ）－ａ）（（ｂ＋ｃ）＋ａ）｝／（ａｂｃ）^２
＝（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）
（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）／（ａｂｃ）^２
よって、
Ｒ^２＝（ａｂｃ）^２／｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝
Ｒ＝（ａｂｃ）／√｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝

リンク：
三角形の重心三角形の重心の性質の別解
三角形の外心
三角形の内心
リンク：高校数学（三角形の性質）
リンク：高校数学の目次