メネラウスの定理（２／３）

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習

以下の問１４をもう１度解きます。
【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、
（１）ＤＦ：ＦＣを求めよ。

【解答】
メネラウスの定理を証明するための補助線は、他の位置に引いても、
線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られます。
そのため、図形のどこにその補助線を引けば良いか、
もう１つの補助線の位置もおぼえておきましょう。

この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のＡＧであり、ＤＣに平行な線です。

この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
（メネラウスの定理を経由せずに）
直接にこの問１４を解きます。

線分ＡＧの長さをｍとします。
ＤＦ＝（ＤＢ／ＡＢ）ｍ＝（２／３）ｍ
ＦＣ＝（ＥＣ／ＡＥ）ｍ＝（３／２）ｍ

ＤＦ／ＦＣ＝（（２／３）ｍ）／（（３／２）ｍ）
＝４／９
∴
ＤＦ：ＦＣ＝４：９

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