三角形の面積を三辺から求める公式

三角形の面積を三辺から求める公式を導く

以下の図のように２辺とその侠角のｓｉｎ（θ）がわかれば、
三角形の面積Ｓがわかります。

Ｓ＝（ｂｃ・ｓｉｎＡ）／２　（式１）
です。
ｓｉｎＡ＝√（１－ｃｏｓ^２Ａ）　（式２）
を利用してＳをｃｏｓＡであらわせます。
以下の様にして、三角形の辺の二乗の引き算の公式から余弦定理を導き出して思い出します。

ｃｏｓＡ＝（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／（２ｂｃ）　（式３）
この式３の余弦定理を利用して、ｃｏｓＡをａ，ｂ，ｃのみであらわせます。
そのため、三角形の面積Ｓはａ，ｂ，ｃのみであらわせます。

以下で、式１を２乗した式を簡単にします。

式２を代入する。

式３を代入する。

《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》

《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》

よって、Ｓ＝（１／２）^２
・√｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝
この式はヘロンの公式と呼ばれています。

（補足） このヘロンの公式を展開した式であらわすと、
(４Ｓ)^２＝－ａ^４－ｂ^４－ｃ^４＋２{(ａｂ)^２＋(ｂｃ)^２＋(ｃａ)^２}
となります。

【別解】
この問題を以下の式の連立方程式として解きます。
Ｓ＝（ｂｃ・ｓｉｎＡ）／２　（式１）
ｃｏｓＡ＝（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／（２ｂｃ）　（式３：余弦定理）

この連立方程式から角度Ａを消去するには、
ｓｉｎ^２Ａ＋ｃｏｓ^２Ａ＝１
に式１のｓｉｎＡと式３のｃｏｓＡを代入します。
ｓｉｎ^２Ａ＋ｃｏｓ^２Ａ＝１
（２Ｓ／（ｂｃ））^２＋｛（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／（２ｂｃ）｝^２＝１
このように角度Ａが消去された。

両辺に（２ｂｃ）^２を掛け算する。
４（２Ｓ）^２＋（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）^２＝（２ｂｃ）^２
Ｓの項だけを左辺に出した式に変形する。
４（２Ｓ）^２＝－（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）^２＋（２ｂｃ）^２
《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝｛－（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）＋（２ｂｃ）｝
｛（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）＋（２ｂｃ）｝
＝｛－ｂ^２－ｃ^２＋ａ^２＋（２ｂｃ）｝
｛ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２＋（２ｂｃ）｝
＝｛－（ｂ－ｃ）^２＋ａ^２｝
｛（ｂ＋ｃ）^２－ａ^２｝
《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝｛（－（ｂ－ｃ）＋ａ）（（ｂ－ｃ）＋ａ）｝
｛（（ｂ＋ｃ）－ａ）（（ｂ＋ｃ）＋ａ）｝
＝（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）
よって、
２（２Ｓ）＝√｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝
Ｓ＝（１／４）√｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝

（補足）
三角形の面積は、三角関数を使うと
Ｓ＝（ｂｃ・ｓｉｎＡ）／２　（式１）
という簡単な式で表せましたが、
三角形の３辺を使って表すと複雑な式になりました。
このように、三角形の辺を使って何かを求める式を得ようとする場合、三角関数の計算により求めるのは不適切です。
なるべく早く三角関数を無くした式に変換し、その式を計算する事で解を得ようとするのが良いです。 

リンク：
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