メネラウスの定理（１／３）

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習

【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、
（１）ＤＦ：ＦＣを求めよ。

【解答】
メネラウスの定理は、
補助線を良い位置に引けば、線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られる
という定理です。
そのため、図形のどこに補助線を引けば良いか、
図形が回転した位置にあってもわかるようにおぼえておきましょう。

この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のＤＧであり、ＢＥに平行な線です。

この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
（メネラウスの定理を経由せずに）
直接にこの問１４を解きます。

ＧＥ＝（ＤＢ／ＡＢ）・ＡＥ＝（２／３）ＡＥ
ＤＦ／ＦＣ＝ＧＥ／ＥＣ
＝（２／３）ＡＥ／ＥＣ
＝（２／３）・（２／３）
＝４／９
∴
ＤＦ：ＦＣ＝４：９

【究極の方法】
　上の解き方では、補助線を引いて問題を解きましたが、その補助線を考えるのも面倒くさいと思います。
　以下の様に考えると、問題をもっと楽に解けます。
　問題の平面図形を３次元空間に配置します。

３次元空間での点の高さを括弧（）内に書きます。
上図のように直線ＢＦＥの高さを（０）にし、点Ａの高さを（６）にします。 

３次元空間における直線ＡＤＢにおいて、
ＡＤ：ＤＢ＝１：２
の関係があることから、
点Ｄの高さは（４）になる。

直線ＡＥＣにおいて、
ＡＥ：ＥＣ＝２：３
の関係があることから、
点Ｃの高さは（－９）になる。

直線ＤＦＣの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
（解答おわり）

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