三角形の内角の２等分線

上図のように、ＡＤに平行な補助線ＰＣを引くと
ｃ：ｂ＝ｍ：ｎ
となることがわかります。

（つぶれた三角形１）点Ａが直線BC上で、辺ＢＣ内（点BとCは含まない）にある場合は、つぶれた三角形である。その場合、∠ＢＡＣは１８０°になる。その∠ＢＡＣを２等分する直線ADは辺BCに垂直になる。その場合は、Ａ＝Ｄになる。A=Dの場合は、ｃ＝ｍ、ｂ＝ｎになる。しかし、A=Dの場合は、線分ＡＤが１点になってしまうので、線分ＡＤの方向を定める事ができず、∠ＢＡＣが２等分されているとは言えない。

（つぶれた三角形２）点Ａが、直線BC上で、辺ＢＣの外にある場合（点BとCは含まない）は、つぶれた三角形である。その場合は、∠ＢＡＣは０°になる。その∠BACを二等分する直線ＡＤは直線ＢＣと平行になる。その場合は、Ｄの辺BC上の位置は定まらない。その場合は、c:b＝m:nという関係は無い。

（つぶれた三角形３）点Aが点B又は点Cと一致する場合は、点Aとそれが一致する点を結ぶ線分AB又は線分ACが１点になってしまうので、その線分の方向を定めることができず、∠BACは９０°であるとも言えず（∠BAC＝０°もあり得る）、∠BACの大きさが定まらない。そのため、∠BACを二等分する直線ADの点Dの辺BC上の位置も定まらない。

　そういうわけで、つぶれた三角形の場合には、∠Aを二等分する線分ADに関して、ｃ：ｂ＝ｍ：ｎの関係があるとは言えない。

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