2016年10月23日日曜日

三角形の内角の2等分線


上図のように、ADに平行な補助線PCを引くと
c:b=m:n
となることがわかります。

(つぶれた三角形1)点Aが直線BC上で、辺BC内(点BとCは含まない)にある場合は、つぶれた三角形である。その場合、∠BACは180°になる。その∠BACを2等分する直線ADは辺BCに垂直になる。その場合は、A=Dになる。A=Dの場合は、c=m、b=nになる。しかし、A=Dの場合は、線分ADが1点になってしまうので、線分ADの方向を定める事ができず、∠BACが2等分されているとは言えない。

(つぶれた三角形2)点Aが、直線BC上で、辺BCの外にある場合(点BとCは含まない)は、つぶれた三角形である。その場合は、∠BACは0°になる。その∠BACを二等分する直線ADは直線BCと平行になる。その場合は、Dの辺BC上の位置は定まらない。その場合は、c:b=m:nという関係は無い。

(つぶれた三角形3)点Aが点B又は点Cと一致する場合は、点Aとそれが一致する点を結ぶ線分AB又は線分ACが1点になってしまうので、その線分の方向を定めることができず、∠BACは90°であるとも言えず(∠BAC=0°もあり得る)、∠BACの大きさが定まらない。そのため、∠BACを二等分する直線ADの点Dの辺BC上の位置も定まらない。

 そういうわけで、つぶれた三角形の場合には、∠Aを二等分する線分ADに関して、c:b=m:nの関係があるとは言えない。

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