正四面体に内接する球

第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その３／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習

【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。
（３）この正四面体に内接する球の半径ｒを求めなさい。

教科書の解き方が一番良いと思いますが、それとは異なる解き方をしてみます。

正四面体に内接する球の中心は４つの面それぞれから半径ｒの距離の位置にあります。
それで、Ｏを頂点として１つの面を底面（面積Ｓ）とする三角錐が正四面体の４面の数だけできます。その４つの三角錐の形は合同です。その三角錐の高さはｒになります。

そのため、
その三角錐の体積×正四面体の面の数＝正四面体の体積（Ｖ）になり、
三角錐の体積に関して以下の関係が成り立ちます。
Ｓ・ｒ／３＝Ｖ／４＝（Ｓ・（正四面体の高さ）／３）／４

この式を変形します。
ｒ＝（正四面体の高さ）／４
＝（（√６）／３）ａ／４
＝（（√６）／１２）ａ

（参考）正四面体の重心位置は高さの４分の１

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