２直線の関係（三角形の垂心の座標）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問】下図のようにＡ点が原点Ｏにあり、ＢＣがＸ座標軸に平行な三角形ＡＢＣの座標を図のように定義した上で、その三角形の垂心Ｄの座標を求めよ。

（１）点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前ＢとＣを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです。
（２） 高校２年になると、座標点Ｂの座標値の名前が、名前Ｂを引き継いだｂ_１などの記号であらわすので、線分ＯＢの長さをｂで表します。
　三角形の頂点Ｂに対向する辺ＯＣの長さは、高校１年までとは違って、ｂ以外の記号で（上図ではｃと）表します。

【解答】
　上図のように、先ず、三角形の辺の直線の方程式を求める。
次に、その方程式のｘの係数とｙの係数を入れ替えて、一方の係数の正負を逆にすることで、その直線に垂直な直線の方程式を計算する。
その結果、２つの垂線の方程式が、以下のとおりに得られる。

（式１）＊ｂ_１－（式２）＊ｃ_１を計算して以下の式を得る。

（注意）Ｄ点のｘ座標が０ということは、ＡからＢＣに下ろした垂線にＤ点が交わることを意味する。すなわち、垂心は３つの直線の交点であることが示されている。
（式３）を式１に代入してｙ座標を求める。

∴Ｄの座標は、

上の式の最後の項では、ベクトルAB＝ベクトルｂとし、ベクトルAC＝ベクトルｃとした。

上の式の最初の項から、Ｄ点の辺ＢＣ上の高さは、

である。

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