三角形の垂心

三角形の底辺を垂線で分割した線分の長さの積は垂心の高さに比例する、という垂心の性質があります。
【定理】△ＡＢＣの３頂点Ａ，Ｂ,Ｃからそれぞれ直線ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに引いた３本の垂線は１点Ｈで交わる。

【証明】以下でおぼえやすいと思われる自然な流れの思考パターンでこの定理を証明してみましょう。

上図のように、垂線ＡＤと頂点Ｂから引いた垂線ＢＥとの交点をＨとします。
この図に、同じ角度だとわかる角度と、長さが分かる線の長さをことごとく書き込むと答えが見えてきます。

上図の各線分の長さをａ１，ａ２，ｈ，ｈ１と名づけます。
すると、
三角形ＢＤＨと三角形ＡＤＣが相似であるので、
ｈ１／ａ１＝ａ２／ｈ
ゆえに：
交点Ｈの高さすなわちＤＨの長さｈ１＝（ａ２・ａ１）／ｈ
になります。

この式は、垂線ＡＤと線分ＢＣとの関係だけであらわされています。
同様にして、
頂点Ｃから線分ＡＢに垂直に引いた垂線と垂線ＡＤとの交点の高さｈ１’も、
交点の高さｈ１’＝（ａ２・ａ１）／ｈ
になります。

そのため、その交点はＨと同じ位置になります。
よって、
△ＡＢＣの３頂点Ａ，Ｂ,Ｃからそれぞれ直線ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに引いた３本の垂線は１点Ｈで交わります。
（証明おわり）

リンク：
方べきの定理
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の外心
三角形の内心
リンク：高校数学（三角形の性質）
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