正四面体に外接する球

第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その２／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習

【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。
（２）この正四面体に外接する球の半径Ｒを求めなさい。

図に球の中心Ｏを書き加えます。

正四面体の重心は、正四面体の高さの４分の１の位置にあります。
正四面体はどの面を底面としても、その高さが同じ図形です。

そのため、正四面体の重心から正四面体の頂点までの長さは、頂点がＡＢＣＤのどの点であっても同じ長さです。
そのため、重心を中心にする球は正四面体の頂点ＡＢＣＤ全てに接します。
よって、重心を中心とする球は正四面体に外接します。

ゆえに、正四面体に外接する球の半径Ｒの長さは、正四面体の重心から頂点までの長さであり、
それは、正四面体の高さの３／４です。

そして、正四面体の高さは、（√６／３）ａです。
∴Ｒ＝（３／４）×（√６／３）ａ
＝（√６／４）ａ

リンク：
高校数学の目次