勉強しよう数学0: 三角形の辺の二乗の引き算の公式に係る問題

【問題】
　上の三角形ＡＢＣにおいて、次の等式を証明しなさい。

【解答】

（証明おわり）

（補足）
この問題は、以下の、三角形の２辺の二乗の差の公式に係る問題です。
【三角形の辺の二乗の引き算の公式】

（以上が、三角形の辺の二乗の引き算の公式）
　この三角形の辺の二乗の引き算の公式は、かなり多くの問題を解くのに役立つ万能の公式です。種々の問題を解く際に、この公式を使うよう試してみてください。

（第２の解答の方針）

この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した式を考えます。

この左辺が０になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。
そのため、左辺をどんどん計算して、０になるまで続けるのが証明のコツです。

以下では、この問題の解答用紙には書かない、計算用紙に書く計算（自分が納得して計算する）の細部を書きます。
（計算にはリズムがあります。計算用紙に書く自分の計算では、計算のリズムを乱す難しい式の変換はしないで、少しづつ式を変形するのが計算のコツです。）

（解答：証明開始）

ここでcos（Ｂ）を（第２）余弦定理で変換します。

《cosＢに着目して置き換える事が重要。（ca・cosＢ）のまとめ置きかえは変換の自由度が低いので覚える価値低》
ここでcos（Ａ）を（第２）余弦定理で変換します。

《以下の計算は、以下の２行は暗算により省略可能》

《以下の２～３行は暗算により省略することも可能》

（証明おわり）

以上の計算で、式を変形するとき、カッコをたくさん使って計算するのがコツです。カッコをつけ忘れないよう注意して計算してください。

【別解】
以上とは異なる発想で、この等式を以下のようにして解くこともできます。

この式から、変数ｃを減らします。それは、以下の、第１余弦定理を利用します。
頂点Ｃから辺ｃに垂直に下ろした線で辺ｃを分割した各線分の長さは、
ａ・ｃｏｓ（Ｂ）とｂ・ｃｏｓ（Ａ）です。
そのため、以下の式がなりたちます（第１余弦定理）。
ｃ＝ａ・ｃｏｓ（Ｂ）＋ｂ・ｃｏｓ（Ａ）
この式を先の式に代入して変数ｃを減らします。

この式を変形します。

－(a・sin（Ｂ）)²+(b・sin（Ａ）)²=0,
ここで、a・sin（Ｂ）も、b・sin（Ａ）も、ともに、
頂点Ｃから辺ｃに垂直に下ろした線の長さをあらわしますので、両者は等しいです（正弦定理）。
a・sin（Ｂ）＝b・sin（Ａ）,
そのため、
－(a・sin（Ｂ）)²+(b・sin（Ａ）)²=0,
がなりたります。
（証明おわり）

【更に別解】

を証明する。
この式の左辺をａｂｃで割り算した式をＦとする。