「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）
２２ページに、
以下の図のような特殊な三角形の tanθの値が書いてありました。
正三角形を半分にしたり、正方形を斜辺で半分にしたりして直角三角形を作れば理解できます。
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「佐藤の数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）
２１ページに、
tanθのおぼえ方が、下の図のような絵で書いてありました。
このような絵でおぼえれば、すぐおぼえられますね。
また、tanθは、直線の傾きをあらわします。
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（参考）水野先生による、佐藤の数学教科書の紹介
教科書１６ページのチェック２
「三角形は、対応する□つの角がそれぞれ等しければ、相似である。・・・」
この答えを見ると、□の中に埋める言葉の答えが「２」と書いてあります。
その答えは、「３」でも良いと思いますが、
２とおぼえた方が良いです。
三角形は、対応する２つの角がそれぞれ等しければ、相似です。
（２つの角度ＡとＢが等しければ、３つ目の角度も、１８０度－Ａ－Ｂになり、等しくなるからです。）
あと、
２つの三角形は、２辺の比が等しく、その２辺が挟む１つの角が等しければ、
相似です。
もう１つ、
２つの三角形は、３辺の比が等しければ、相似です。
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重複組合せの本サイトの解き方を応用して難問を作ってみました。
多分、この問題は絶対に試験には出ないと思いますので、興味のある人だけ読んでください。
【問５】
１，２，３の３つの数字の中から、以下の例外規則以外では同じ数字を複数選べる。例外規則とは、選ぶ数字のうち一番大きい数字は１つしか選ばない。その規則の下で、
数字を３つ選んで作る数字の組合せの数は何個あるか。
この問題の組合せ例をいくつか書くと、
選らんだ数字を左から小さい順に整列して書くと、
（１，１，２）
（１，２，３）
・・・
と順次に書けます。
ただし、問題の条件により、
（２，３，３）はダメです。
（１，２，２）もダメです。
（１，１，１）もダメです。
この整列した組合せの数を求める問題です。
この問題は、その解の組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。
その組合せは、以下の、
数字を直接に指定する３つの指令と、
数字を間接的に指定する１つの指令
とから成る合計４つの指令のうちから３つを選ぶ組合せと１対１対応します。
１選択指令：数字１を選ぶ。
２選択指令：数字２を選ぶ。
３選択指令：数字３を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
上の指令から３つを選ぶ。
（１選択指令、２選択指令、３選択指令）から選ばれた数字選択指令を数字の小さい順に、順番が抜けている第ｎ指令の位置に配置する。
この指令の組合せは、例えば、
（１）１選択指令：数字１を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
（３）３選択指令：数字３を選ぶ。
です。
この指令の組合せの結果、
（１，１，３）の数字の組合せが選ばれます。
また、例えば、
（１）２選択指令：数字２を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
（３）３選択指令：数字３を選ぶ。
この指令の組合せの結果、
（２，２，３）の数字の組合せが選ばれます。
大事なポイントは、この指令の組み合わせが、
「３つの数字の中から以下の例外規則以外では同じ数字を複数選べる。例外規則とは、選ぶ数字のうち一番大きい数字は１つしか選ばない。その規則の下で、数字を３つ選んで作る数字の組合せ」に、
１対１に対応することである。
そのため、
（求める組合せの数）
＝（数字を直接選択する３つの指令と、その他の、数字を間接的に指定する指令１つとから成る合計４つの指令のうちから３つを選ぶ組合せの数）
＝（３＋１）Ｃ３
＝（３＋１）Ｃ１＝４
実際に全部の組合せを書き出してみると、
（１，１，２）
（１，１，３）
（１，２，３）
（２，２，３）
の４つの組合せのみです。
場合の数と確率
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佐藤の数学教科書[個数の処理・確率編]の１３６頁に、
以下の例題がありました。
【問４】
１，２，３，４の４つの数字の中から同じ数字を何回も選ぶことを許して、
３つの数字を選ぶ。その数字の組合せの数は何個あるか。
【解答１】
この問題の組合せ例をいくつか書くと、
選んだ数字を左から小さい順に整列して書くと、
（１，１，２）
（２，２，２）
（１，２，４）
（２，３，４）
・・・
と順次に書けます。
この整列した組合せの数を求める問題です。
この問題は、その解の組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。
その組合せは、以下の、
数字を直接に指定する４つの指令と、
数字を間接的に指定する２つの指令
とから成る合計６つの指令のうちから３つを選ぶ組合せと１対１対応します。
１選択指令：数字１を選ぶ。
２選択指令：数字２を選ぶ。
３選択指令：数字３を選ぶ。
４選択指令：数字４を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
第３指令：整列表示した、３番目の数字を２番目の数字と同じ数字にする。
上の指令から３つを選ぶ。
（１選択指令、２選択指令、３選択指令、４選択指令）から選ばれた数字選択指令を数字の小さい順に、順番が抜けている第ｎ指令の位置に配置する。
この指令の組合せは、例えば、
（１）３選択指令：数字３を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
第３指令：整列表示した、３番目の数字を２番目の数字と同じ数字にする。
です。
この指令の組合せの結果、
（３，３，３）の数字の組合せが選ばれます。
また、例えば、
（１）２選択指令：数字２を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
（３）４選択指令：数字４を選ぶ。
この指令の組合せの結果、
（２，２，４）の数字の組合せが選ばれます。
大事なポイントは、この指令の組み合わせが、
４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、１度に３つずつ数字を取って作る組合せに、
１対１に対応することである。
（１）この指令の組み合わせが、１度に３つずつ数字を取って作る組合せを表す。
（２）逆に、１度に３つずつ数字を取って作る組合せは、必ず、これらの指令の３つの組み合わせによって表すことができる。
そのため、
（４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、１度に３つずつ数字を取って作る組合せの数）
＝（数字を直接選択する４つの指令と、その他の、数字を間接的に指定する指令２つとから成る合計６つの指令のうちから３つを選ぶ組合せの数）
＝（４＋２）Ｃ３
（解答おわり）
【解答２】
上図のように数字１の行と２の行と３の行と４の行の４つの行を有し、横の長さが３の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、数字１の行から４の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。
上図で、
数字１の数＝（１の行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
数字２の数＝（２の行の、階段と階段の間の長さ）
数字３の数＝（３の行の、階段と階段の間の長さ）
数字４の数＝（４の行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、
Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
３個の数字を取る場合の、数字１を取った数と数字２を取った数と数字３を取った数ろ数字４を取った数の１つの組合せに
１対１で対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、
４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、
１度に３つずつ取って作る組合せの数と等しい。
上図の経路は、
→↑→↑→↑
とあらわせる。
図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)３つと、(→)３つが作る全ての組み合わせの数と等しい。
その数は、
（３＋３）Ｃ３
＝（３＋３）！／（３！×３！）
＝６×５×４／（３×２）＝２０
になる。
これは、先の解答と同じ答えである。
（解答おわり）
場合の数と確率
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分子と分母に（２－√３）をかけ算するのがコツ
