2014年1月1日水曜日

重複組合せ(4)

佐藤の数学教科書[個数の処理・確率編]の136頁に、 以下の例題がありました。
【問4】
1,2,3,4の4つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、
1度に3つずつ取って作る組合せの数は何個あるか。

【解答1】
この問題の組合せ例をいくつか書くと、
選らんだ数字を左から小さい順に整列して書くと、
(1,1,2)
(2,2,2)
(1,2,4)
(2,3,4)
・・・
と順次に書けます。
この整列した組合せの数を求める問題です。

この問題は、その解の組み合せと1対1に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。

その組合せは、以下の、
数字を直接に指定する4つの指令と、
数字を間接的に指定する2つの指令
とから成る合計6つの指令のうちから3つを選ぶ組合せと1対1対応します。

1選択指令:数字1を選ぶ。
2選択指令:数字2を選ぶ。
3選択指令:数字3を選ぶ。
4選択指令:数字4を選ぶ。
第2指令:整列表示した、2番目の数字を1番目の数字と同じ数字にする。
第3指令:整列表示した、3番目の数字を2番目の数字と同じ数字にする。

上の指令から3つを選ぶ。
(1選択指令、2選択指令、3選択指令、4選択指令)から選ばれた数字選択指令を数字の小さい順に、順番が抜けている第n指令の位置に配置する。

この指令の組合せは、例えば、
(1)3選択指令:数字3を選ぶ。
第2指令:整列表示した、2番目の数字を1番目の数字と同じ数字にする。
第3指令:整列表示した、3番目の数字を2番目の数字と同じ数字にする。
です。
この指令の組合せの結果、
(3,3,3)の数字の組合せが選ばれます。

また、例えば、
(1)2選択指令:数字2を選ぶ。
第2指令:整列表示した、2番目の数字を1番目の数字と同じ数字にする。
(3)4選択指令:数字4を選ぶ。
この指令の組合せの結果、
(2,2,4)の数字の組合せが選ばれます。

大事なポイントは、この指令の組み合わせが、
4つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、1度に3つずつ数字を取って作る組合せに、
1対1に対応することである。
(1)この指令の組み合わせが、1度に3つずつ数字を取って作る組合せを表す。
(2)逆に、1度に3つずつ数字を取って作る組合せは、必ず、これらの指令の3つの組み合わせによって表すことができる。

そのため、
(4つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、1度に3つずつ数字を取って作る組合せの数)
=(数字を直接選択する4つの指令と、その他の、数字を間接的に指定する指令2つとから成る合計6つの指令のうちから3つを選ぶ組合せの数)
(4+2)
(解答おわり)

【解答2】
上図のように数字1の行と2の行と3の行と4の行の4つの行を有し、横の長さが3の格子を考える。格子のA点からB点まで、数字1の行から4の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。

上図で、
数字1の数=(1の行の、A点から昇り階段までの長さ)
数字2の数=(2の行の、階段と階段の間の長さ)
数字3の数=(3の行の、階段と階段の間の長さ)
数字4の数=(4の行の、階段からB点までの長さ)
とすると、

A点からB点まで、格子をたどって右と上に進む1つの最短経路は、
3個の数字を取る場合の、数字1を取った数と数字2を取った数と数字3を取った数ろ数字4を取った数の1つの組合せに
1対1で対応する。
そのため、A点からB点までの全ての経路の数は、
4つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、
1度に3つずつ取って作る組合せの数と等しい。
上図の経路は、
→↑→↑→↑
とあらわせる。

図のA点からB点までの全ての経路の数は、(↑)3つと、(→)3つが作る全ての組み合わせの数と等しい。
その数は、
(3+3)
(3+3)!/(3!×3!)
=6×5×4/(3×2)=20
になる。
これは、先の解答と同じ答えである。
(解答おわり)

場合の数と確率
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