佐藤の数学教科書[個数の処理・確率編]の１３６頁に、
以下の例題がありました。
【問４】
１，２，３，４の４つの数字の中から同じ数字を何回も選ぶことを許して、
３つの数字を選ぶ。その数字の組合せの数は何個あるか。
【解答１】
この問題の組合せ例をいくつか書くと、
選んだ数字を左から小さい順に整列して書くと、
（１，１，２）
（２，２，２）
（１，２，４）
（２，３，４）
・・・
と順次に書けます。
この整列した組合せの数を求める問題です。
この問題は、その解の組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。
その組合せは、以下の、
数字を直接に指定する４つの指令と、
数字を間接的に指定する２つの指令
とから成る合計６つの指令のうちから３つを選ぶ組合せと１対１対応します。
１選択指令：数字１を選ぶ。
２選択指令：数字２を選ぶ。
３選択指令：数字３を選ぶ。
４選択指令：数字４を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
第３指令：整列表示した、３番目の数字を２番目の数字と同じ数字にする。
上の指令から３つを選ぶ。
（１選択指令、２選択指令、３選択指令、４選択指令）から選ばれた数字選択指令を数字の小さい順に、順番が抜けている第ｎ指令の位置に配置する。
この指令の組合せは、例えば、
（１）３選択指令：数字３を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
第３指令：整列表示した、３番目の数字を２番目の数字と同じ数字にする。
です。
この指令の組合せの結果、
（３，３，３）の数字の組合せが選ばれます。
また、例えば、
（１）２選択指令：数字２を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
（３）４選択指令：数字４を選ぶ。
この指令の組合せの結果、
（２，２，４）の数字の組合せが選ばれます。
大事なポイントは、この指令の組み合わせが、
４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、１度に３つずつ数字を取って作る組合せに、
１対１に対応することである。
（１）この指令の組み合わせが、１度に３つずつ数字を取って作る組合せを表す。
（２）逆に、１度に３つずつ数字を取って作る組合せは、必ず、これらの指令の３つの組み合わせによって表すことができる。
そのため、
（４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、１度に３つずつ数字を取って作る組合せの数）
＝（数字を直接選択する４つの指令と、その他の、数字を間接的に指定する指令２つとから成る合計６つの指令のうちから３つを選ぶ組合せの数）
＝（４＋２）Ｃ３
（解答おわり）
【解答２】
上図のように数字１の行と２の行と３の行と４の行の４つの行を有し、横の長さが３の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、数字１の行から４の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。
上図で、
数字１の数＝（１の行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
数字２の数＝（２の行の、階段と階段の間の長さ）
数字３の数＝（３の行の、階段と階段の間の長さ）
数字４の数＝（４の行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、
Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
３個の数字を取る場合の、数字１を取った数と数字２を取った数と数字３を取った数ろ数字４を取った数の１つの組合せに
１対１で対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、
４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、
１度に３つずつ取って作る組合せの数と等しい。
上図の経路は、
→↑→↑→↑
とあらわせる。
図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)３つと、(→)３つが作る全ての組み合わせの数と等しい。
その数は、
（３＋３）Ｃ３
＝（３＋３）！／（３！×３！）
＝６×５×４／（３×２）＝２０
になる。
これは、先の解答と同じ答えである。
（解答おわり）
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
【問４】
１，２，３，４の４つの数字の中から同じ数字を何回も選ぶことを許して、
３つの数字を選ぶ。その数字の組合せの数は何個あるか。
【解答１】
この問題の組合せ例をいくつか書くと、
選んだ数字を左から小さい順に整列して書くと、
（１，１，２）
（２，２，２）
（１，２，４）
（２，３，４）
・・・
と順次に書けます。
この整列した組合せの数を求める問題です。
この問題は、その解の組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。
その組合せは、以下の、
数字を直接に指定する４つの指令と、
数字を間接的に指定する２つの指令
とから成る合計６つの指令のうちから３つを選ぶ組合せと１対１対応します。
１選択指令：数字１を選ぶ。
２選択指令：数字２を選ぶ。
３選択指令：数字３を選ぶ。
４選択指令：数字４を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
第３指令：整列表示した、３番目の数字を２番目の数字と同じ数字にする。
上の指令から３つを選ぶ。
（１選択指令、２選択指令、３選択指令、４選択指令）から選ばれた数字選択指令を数字の小さい順に、順番が抜けている第ｎ指令の位置に配置する。
この指令の組合せは、例えば、
（１）３選択指令：数字３を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
第３指令：整列表示した、３番目の数字を２番目の数字と同じ数字にする。
です。
この指令の組合せの結果、
（３，３，３）の数字の組合せが選ばれます。
また、例えば、
（１）２選択指令：数字２を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
（３）４選択指令：数字４を選ぶ。
この指令の組合せの結果、
（２，２，４）の数字の組合せが選ばれます。
大事なポイントは、この指令の組み合わせが、
４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、１度に３つずつ数字を取って作る組合せに、
１対１に対応することである。
（１）この指令の組み合わせが、１度に３つずつ数字を取って作る組合せを表す。
（２）逆に、１度に３つずつ数字を取って作る組合せは、必ず、これらの指令の３つの組み合わせによって表すことができる。
そのため、
（４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、１度に３つずつ数字を取って作る組合せの数）
＝（数字を直接選択する４つの指令と、その他の、数字を間接的に指定する指令２つとから成る合計６つの指令のうちから３つを選ぶ組合せの数）
＝（４＋２）Ｃ３
（解答おわり）
【解答２】
上図で、
数字１の数＝（１の行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
数字２の数＝（２の行の、階段と階段の間の長さ）
数字３の数＝（３の行の、階段と階段の間の長さ）
数字４の数＝（４の行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、
Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
３個の数字を取る場合の、数字１を取った数と数字２を取った数と数字３を取った数ろ数字４を取った数の１つの組合せに
１対１で対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、
４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、
１度に３つずつ取って作る組合せの数と等しい。
上図の経路は、
→↑→↑→↑
とあらわせる。
図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)３つと、(→)３つが作る全ての組み合わせの数と等しい。
その数は、
（３＋３）Ｃ３
＝（３＋３）！／（３！×３！）
＝６×５×４／（３×２）＝２０
になる。
これは、先の解答と同じ答えである。
（解答おわり）
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
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