リンク：問１０
円順列とじゅず順列の数を求めます。
以下の問題はかなり難しい（特に、じゅず順列の数の計算）ので、無理して読む必要は無いと思います。
この問題より先に、問１０をやってください。
この問９は、どうしても読みたい人だけ読めば良いと考えます。
【問９】
（１）×２個と●２個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
（１）先ず、円順列の数を求めます。
〔解１〕
×と●と○を並べる席が２＋２＋４＝８箇所あります。
８つの席が固定されているならば、×２つと●２つと残り４つを並べる組み合わせの数は、
８！／（４！×２！×２！）＝８Ｐ４／（２！×２！）
＝８×７×６×５／（２×２）＝４２０通り
あります。
×と●と○の１つの円順列の配置を回転させると、固定した席に対しては８倍の異なる配置になる場合があります。
固定した席への配置する場合の数の４２０通りの配置のうち、１つの円順列の配置を回転させて８倍の配置ができる場合については、その場合の数を８で割り算して円順列の数を数えます。
（第１のタイプの配置）
下の３つの円順列の配置では、１／２回転で元の形と同じ形になります。
このタイプの配置では、１つの円順列の配置を回転させて４倍の配置ができます。
この３つの円順列の配置以外では、１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になるものはありません。
第１のタイプ以外の配置では、１回転で元の形に戻る配置であって、円順列で１つと数えられる配置を回転して（固定した席では）８倍の配置ができます。
第１のタイプ以外の円順列の数は、
第１のタイプ以外の円順列の数
＝（固定席での全部の配置の数－（第１のタイプの円順列の数×４））／８
＝（４２０－（３×４））／８＝４０８／８＝５１
一方、第１のタイプの円順列の数は３組でした。
よって、全部の円順列の数は、
５１＋３＝５４
組みです。
（解１おわり）
〔解２〕
以下のように考えて解くことができます。
（第１のタイプの配置：(1/2)回転で元の形と同じ形になる配置）
(1/2)回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から(1/2)回転した位置にもあるように繰り返して存在し、結局、黒玉●が中心対称な位置に２個ある配置パターンになる。第１のタイプの配置パターンは、そのように、各色の玉が中心対称な位置にある配置パターンである。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／２の部分の、４個の玉の部分が１周期になって、それが２回繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の円の１／２の部分の４個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、上図のように１個の×の位置を固定して考え、その配置の数は１個の●の位置のバラエティの数である。その数は上図のように３組ある。
第１のタイプの配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／２回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、した場合の４つの異なる配置が作られる。
席を固定した場合の、第１のタイプの配置のパターンの数は、席を固定しない場合の配置パターンの数３の４倍になる。その数は：
３×４＝１２
個である。
（１回転すると元の形に戻る（全部の）配置）
１回転して元の形になる全ての配置パターンには、第１のタイプの配置が含まれる。 全配置パターンの、席が固定された場合の配置の数は、以下のように計算する。
×と●と○を並べる席が２＋２＋４＝８箇所ある。
８つの席が固定されているならば、×２つと●２つと残り４つを並べる組み合わせの数は、
８！／（４！×２！×２！）＝８Ｐ４／（２！×２！）
＝８×７×６×５／（２×２）＝４２０個
ある。
（第１のタイプ以外の配置：１回転して初めて元の形に戻る配置）
全部の組合せの数から、第１のタイプの配置パターンの数を引き算することで、１回転して初めて元の形に戻る、（席を固定した場合の）配置の数を求める。その数は：
４２０－（３×４）＝４０８
個ある。
この、第１のタイプ以外の配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になる。すなわち、１周期である１回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、(4/8)回転、(5/8)回転、(6/8)回転、(7/8)回転した８つの場合で８つの異なる配置が作られる。
席を固定しない場合の、この第１のタイプ以外の配置の数は、席を固定した場合の配置の数４０８の８分の１になる。その数は：
４０８／８＝５１
組ある。
（全部の円順列の数）
以上の合計の、席を固定しない場合の、全部の円順列の配置パターンの数は：
３＋５１＝５４
組ある。
（解２おわり）
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、裏返す前と同じ円順列の配置になる配置があるかどうかを調べます。
（第２のタイプ：線対称な配置）
下の１２の配置は、円の中心と×の配置の中間を通る裏返し線に関して対称な形であって、
裏返し線で裏返した配置の形が元の配置と同じ形になるタイプの配置です。
この第２のタイプの円順列は１２個のみです。
第２のタイプ以外の配置では、線対称な形では無いので、裏返した形は、元の形を回転することでは作れません。
第２のタイプ以外の円順列の配置は、元の配置と、裏返した後の配置とは異なる２個の配置と数えられています。
このように、第２のタイプ以外の配置は、円順列では２倍に数えられているので、
第２のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、倍率である２で割り算して求められ、その数は、
（５４－１２）／２＝２１
あります。
一方、第２のタイプのじゅず順列の数は１２個でした。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝２１＋１２＝３３
場合の数と確率
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円順列とじゅず順列の数を求めます。
以下の問題はかなり難しい（特に、じゅず順列の数の計算）ので、無理して読む必要は無いと思います。
この問題より先に、問１０をやってください。
この問９は、どうしても読みたい人だけ読めば良いと考えます。
【問９】
（１）×２個と●２個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
（１）先ず、円順列の数を求めます。
〔解１〕
×と●と○を並べる席が２＋２＋４＝８箇所あります。
８つの席が固定されているならば、×２つと●２つと残り４つを並べる組み合わせの数は、
８！／（４！×２！×２！）＝８Ｐ４／（２！×２！）
＝８×７×６×５／（２×２）＝４２０通り
あります。
×と●と○の１つの円順列の配置を回転させると、固定した席に対しては８倍の異なる配置になる場合があります。
固定した席への配置する場合の数の４２０通りの配置のうち、１つの円順列の配置を回転させて８倍の配置ができる場合については、その場合の数を８で割り算して円順列の数を数えます。
（第１のタイプの配置）
下の３つの円順列の配置では、１／２回転で元の形と同じ形になります。
このタイプの配置では、１つの円順列の配置を回転させて４倍の配置ができます。
この３つの円順列の配置以外では、１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になるものはありません。
第１のタイプ以外の配置では、１回転で元の形に戻る配置であって、円順列で１つと数えられる配置を回転して（固定した席では）８倍の配置ができます。
第１のタイプ以外の円順列の数は、
第１のタイプ以外の円順列の数
＝（固定席での全部の配置の数－（第１のタイプの円順列の数×４））／８
＝（４２０－（３×４））／８＝４０８／８＝５１
一方、第１のタイプの円順列の数は３組でした。
よって、全部の円順列の数は、
５１＋３＝５４
組みです。
（解１おわり）
〔解２〕
以下のように考えて解くことができます。
（第１のタイプの配置：(1/2)回転で元の形と同じ形になる配置）
(1/2)回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から(1/2)回転した位置にもあるように繰り返して存在し、結局、黒玉●が中心対称な位置に２個ある配置パターンになる。第１のタイプの配置パターンは、そのように、各色の玉が中心対称な位置にある配置パターンである。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／２の部分の、４個の玉の部分が１周期になって、それが２回繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の円の１／２の部分の４個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、上図のように１個の×の位置を固定して考え、その配置の数は１個の●の位置のバラエティの数である。その数は上図のように３組ある。
第１のタイプの配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／２回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、した場合の４つの異なる配置が作られる。
席を固定した場合の、第１のタイプの配置のパターンの数は、席を固定しない場合の配置パターンの数３の４倍になる。その数は：
３×４＝１２
個である。
（１回転すると元の形に戻る（全部の）配置）
１回転して元の形になる全ての配置パターンには、第１のタイプの配置が含まれる。 全配置パターンの、席が固定された場合の配置の数は、以下のように計算する。
×と●と○を並べる席が２＋２＋４＝８箇所ある。
８つの席が固定されているならば、×２つと●２つと残り４つを並べる組み合わせの数は、
８！／（４！×２！×２！）＝８Ｐ４／（２！×２！）
＝８×７×６×５／（２×２）＝４２０個
ある。
（第１のタイプ以外の配置：１回転して初めて元の形に戻る配置）
全部の組合せの数から、第１のタイプの配置パターンの数を引き算することで、１回転して初めて元の形に戻る、（席を固定した場合の）配置の数を求める。その数は：
４２０－（３×４）＝４０８
個ある。
この、第１のタイプ以外の配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になる。すなわち、１周期である１回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、(4/8)回転、(5/8)回転、(6/8)回転、(7/8)回転した８つの場合で８つの異なる配置が作られる。
席を固定しない場合の、この第１のタイプ以外の配置の数は、席を固定した場合の配置の数４０８の８分の１になる。その数は：
４０８／８＝５１
組ある。
（全部の円順列の数）
以上の合計の、席を固定しない場合の、全部の円順列の配置パターンの数は：
３＋５１＝５４
組ある。
（解２おわり）
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、裏返す前と同じ円順列の配置になる配置があるかどうかを調べます。
（第２のタイプ：線対称な配置）
下の１２の配置は、円の中心と×の配置の中間を通る裏返し線に関して対称な形であって、
裏返し線で裏返した配置の形が元の配置と同じ形になるタイプの配置です。
この第２のタイプの円順列は１２個のみです。
第２のタイプ以外の配置では、線対称な形では無いので、裏返した形は、元の形を回転することでは作れません。
第２のタイプ以外の円順列の配置は、元の配置と、裏返した後の配置とは異なる２個の配置と数えられています。
このように、第２のタイプ以外の配置は、円順列では２倍に数えられているので、
第２のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、倍率である２で割り算して求められ、その数は、
（５４－１２）／２＝２１
あります。
一方、第２のタイプのじゅず順列の数は１２個でした。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝２１＋１２＝３３
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
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