円順列とじゅず順列（８）３種類の玉２＋２＋３個

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問８】
（１）×２個と●２個と○３個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。

（１）先ず、円順列の数を求めます。
×と●と○を並べる席が２＋２＋３＝７箇所あります。
７つの席が固定されているならば、×２つと●２つと残り３つを並べる組み合わせの数は、
７！／（３！×２！×２！）＝_７Ｐ_４／（２！×２！）
＝７×６×５×４／（２×２）＝２１０通り
あります。
--------補足------------
この計算は、以下のように計算することもできます。
７！／（３！×２！×２！）＝７！／（２！×２！×３！）
＝（_７Ｃ_２）（５Ｃ_２）
＝（７×６）（５×４）／（２×２）＝２１０通り
-------補足おわり-------

　玉×と●と○の１つの円順列の配置を回転させると、固定した席に対しては７倍の異なる配置になります。
もし１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になる配置があれば、それは７倍とは異なる倍数の配置ができますが、
この問題の場合では、１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になるものはありません。
そのため、固定した席への配置する場合の数の２１０通りの配置の数は、１つの円順列の配置を回転してできる７倍の配置の数であるので、その配置の数２１０を７で割り算して円順列の数を数えます。
よって、全部の円順列の数は、
円順列の数＝２１０／７＝３０
です。

（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、裏返す前と同じ円順列の配置になる配置があるかどうかを調べます。

（第１のタイプ：線対称な配置）
下の６つの形の配置は、円の中心と×の配置の中間点を通る裏返し線を配置の中心軸にすれば、
裏返し線で裏返した配置の形を、元の配置と同じ形にできる線対称な形の配置です。

この第１のタイプの配置は６個のみです。
第１のタイプ以外の配置では、線対称では無いので、それを裏返した形は、元の形を回転することでは作れません。
円順列では、第１のタイプ以外の配置では、元の配置と、裏返した後の配置とは異なる２個の配置と数えられています。
このように、第１のタイプ以外の配置は、円順列では２倍に数えられているので、
第１のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、倍率である２で割り算して求められ、その数は、
第１のタイプ以外のじゅず順列の数
＝（全部の円順列の数－第１のタイプの円順列の数）／２
＝（３０－６）／２＝１２
あります。
一方、第１のタイプのじゅず順列の数（＝円順列の数）は６個でした。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝１２＋６＝１８

場合の数と確率
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