重複組合せ（２）

答えの正しさを確認しやすいように問題を簡単にしてみました。
【３種の玉から重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数】

上図のような３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数を求める。

【解答】
（①の玉の数，②の玉の数，③の玉の数）
の事象の連鎖を考える。
例えば、①の玉を１個、②の玉を１個、③の玉を０個取り出す事象の連鎖は、
（１，１，０）
である。
　このようにしてあらわした、３種の玉の数の組み合せを表す事象の連鎖と１対１に対応する以下の経路を考える。
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数は、その経路の数に等しい。

上図のように①の行と②の行と③の行との３つの行を有し、横の長さが２の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、①の行から③の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。

上図で、
玉①の数＝（①行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
玉②の数＝（②行の、階段と階段の間の長さ）
玉③の数＝（③行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、

Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
２個の玉を取る場合の、玉①を数と玉②を取った数と玉③を取った１つの組合せに
１対１で対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数と等しい。

上図の経路は、
→↑→↑
とあらわせる。

図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)２つと、(→)２つが作る全ての組み合わせの数と等しい。
その数は、
_{（２＋２）}Ｃ_２
＝（２＋２）！／（２！×２！）
＝４×３／２＝６
になる。
（解答おわり）

場合の数と確率
リンク：高校数学の目次