重複組合せ（１）

【３種の玉から重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数】
【問１】

上図のような３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数を求めよ。


【解答】
（①の玉の数，②の玉の数，③の玉の数）
の事象の連鎖を考える。
例えば、①の玉を２個、②の玉を２個、③の玉を１個取り出す事象の連鎖は、
（２，２，１）
である。
　このようにしてあらわした、３種の玉の数の組み合せを表す事象の連鎖と１対１に対応する以下の経路を考える。
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数は、その経路の数に等しい。

上図のように①の行と②の行と③の行との３つの行を有し、横の長さが５の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、①の行から③の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。

上図で、
①の数＝（①行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
②の数＝（②行の、階段と階段の間の長さ）
③の数＝（③行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、

Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
５個の玉を取り、①を取った数と②を取った数と③を取った数の１つの組合せに
１対１で対応する。
その対応の特殊な例では、
①の数が５、②の数が０、③の数が０の組み合わせは、下の図の経路に対応する。

①の数が０、②の数が０、③の数が５の組み合わせは、下の図の経路に対応する。

そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数と等しい。

上図の経路は、
→→↑→→↑→
とあらわせる。
すなわち、経路は、(↑)２つと(→)５つの順列であらわされる。
（Ａ点からＢ点までの経路は、(↑)２つと(→)５つの順列と１対１対応する）

そのため、図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)２つと、(→)５つが作る全ての順列の数と等しい。
その数は、
（２＋５）！／（２！×５！）
＝_{（２＋５）}Ｃ_２＝_{（２＋５）}Ｃ_５
になる。
（解答おわり）

場合の数と確率
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