【３種の玉から重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数】
【問１】
上図のような３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数を求めよ。
【解答】
この問題は、その組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。
上の３種の玉と４種の指示が入った箱から、
目隠しして５個を取り出す組み合せの数が、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数である。
４種の指示を全部選んでも５つ目にはどれかの玉を選ぶことになる。
どれか選ばれた玉を玉１、玉２、玉３の順に上から下にならべ、その玉の間の第ｎ番目の玉の位置に、選ばれた第ｎ玉指示を並べる。
つまり、選んだ玉のうち一番小さい番号の玉を第１番目に並べ、
第２玉指示(１個目の玉を２個目に追加)が選ばれたら、
第２番目に、第２玉指示を並べ、その指示を２つ目の玉の替わりにする。
第３玉指示(２個目の玉を３個目に追加)が選ばれたら、
第３番目に、第３玉指示をならべ、その指示を３つ目の玉の替わりにする。
その他の第ｎ玉指示も同様にする。
その玉と指示とにより、３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせが指定される。
例えば、以下の組み合わせ：
（１）玉２
（２）第２玉指示(１個目の玉を２個目に追加)
（３）玉３
（４）第４玉指示(３個目の玉を４個目に追加)
（５）第５玉指示(４個目の玉を５個目に追加)
は、
（１）玉２
（２）玉２
（３）玉３
（４）玉３
（５）玉３
の組み合わせに１対１に対応する。
大事なポイントは、この玉と指示の組み合わせ（３種の玉と４種の指示から選んだ５つ）が、３種の玉から重複を許して５個を選ぶ組み合わせに１対１に対応することである。
（１）この玉と指示の組み合わせが、５つの玉を選ぶ１つの組み合わせを表す。
（２）逆に、５つの玉を選ぶ１つの組み合わせは、必ず、この玉と指示の組み合わせによって表すことができる。
そのため、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数
＝３種（３個）の玉と４種の指示から５個を選ぶ組み合わせの数
＝（３＋４）Ｃ５
（解答おわり）
【別解】
上図のように①の行と②の行と③の行との３つの行を有し、横の長さが５の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、①の行から③の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。
上図で、
①の数＝（①行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
②の数＝（②行の、階段と階段の間の長さ）
③の数＝（③行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、
Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
５個の玉を取り、①を取った数と②を取った数と③を取った数の１つの組合せに
１対１で対応する。
その対応の特殊な例では、
①の数が５、②の数が０、③の数が０の組み合わせは、下の図の経路に対応する。
①の数が０、②の数が０、③の数が５の組み合わせは、下の図の経路に対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数と等しい。
上図の経路は、
→→↑→→↑→
とあらわせる。
すなわち、経路は、(↑)２つと(→)５つの順列であらわされる。
（Ａ点からＢ点までの経路は、(↑)２つと(→)５つの順列と１対１対応する）
そのため、図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)２つと、(→)５つが作る全ての順列の数と等しい。
その数は、
（２＋５）！／（２！×５！）
＝（２＋５）Ｃ２＝（２＋５）Ｃ５
になる。
これは、先の解答と同じ答えである。
（解答おわり）
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
【問１】
上図のような３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数を求めよ。
【解答】
この問題は、その組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。
上の３種の玉と４種の指示が入った箱から、
目隠しして５個を取り出す組み合せの数が、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数である。
４種の指示を全部選んでも５つ目にはどれかの玉を選ぶことになる。
どれか選ばれた玉を玉１、玉２、玉３の順に上から下にならべ、その玉の間の第ｎ番目の玉の位置に、選ばれた第ｎ玉指示を並べる。
つまり、選んだ玉のうち一番小さい番号の玉を第１番目に並べ、
第２玉指示(１個目の玉を２個目に追加)が選ばれたら、
第２番目に、第２玉指示を並べ、その指示を２つ目の玉の替わりにする。
第３玉指示(２個目の玉を３個目に追加)が選ばれたら、
第３番目に、第３玉指示をならべ、その指示を３つ目の玉の替わりにする。
その他の第ｎ玉指示も同様にする。
その玉と指示とにより、３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせが指定される。
例えば、以下の組み合わせ：
（１）玉２
（２）第２玉指示(１個目の玉を２個目に追加)
（３）玉３
（４）第４玉指示(３個目の玉を４個目に追加)
（５）第５玉指示(４個目の玉を５個目に追加)
は、
（１）玉２
（２）玉２
（３）玉３
（４）玉３
（５）玉３
の組み合わせに１対１に対応する。
大事なポイントは、この玉と指示の組み合わせ（３種の玉と４種の指示から選んだ５つ）が、３種の玉から重複を許して５個を選ぶ組み合わせに１対１に対応することである。
（１）この玉と指示の組み合わせが、５つの玉を選ぶ１つの組み合わせを表す。
（２）逆に、５つの玉を選ぶ１つの組み合わせは、必ず、この玉と指示の組み合わせによって表すことができる。
そのため、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数
＝３種（３個）の玉と４種の指示から５個を選ぶ組み合わせの数
＝（３＋４）Ｃ５
（解答おわり）
【別解】
上図で、
①の数＝（①行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
②の数＝（②行の、階段と階段の間の長さ）
③の数＝（③行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、
Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
５個の玉を取り、①を取った数と②を取った数と③を取った数の１つの組合せに
１対１で対応する。
その対応の特殊な例では、
①の数が５、②の数が０、③の数が０の組み合わせは、下の図の経路に対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数と等しい。
上図の経路は、
→→↑→→↑→
とあらわせる。
すなわち、経路は、(↑)２つと(→)５つの順列であらわされる。
（Ａ点からＢ点までの経路は、(↑)２つと(→)５つの順列と１対１対応する）
その数は、
（２＋５）！／（２！×５！）
＝（２＋５）Ｃ２＝（２＋５）Ｃ５
になる。
これは、先の解答と同じ答えである。
（解答おわり）
場合の数と確率
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