重複組合せ（１）

【３種の玉から重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数】

上図のような３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数を求める。

この問題は、その組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。

上の３種の玉と４種の指示が入った箱から、
目隠しして５個を取り出す組み合せの数が、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数である。

４種の指示を全部選んでも５つ目にはどれかの玉を選ぶことになる。
どれか選ばれた玉を玉１、玉２、玉３の順に上から下にならべ、その玉の間の第ｎ番目の玉の位置に、選ばれた第ｎ玉指示を並べる。
つまり、選んだ玉のうち一番小さい番号の玉を第１番目に並べ、
第２玉指示(１個目の玉を２個目に追加)が選ばれたら、
第２番目に、第２玉指示を並べ、その指示を２つ目の玉の替わりにする。
第３玉指示(２個目の玉を３個目に追加)が選ばれたら、
第３番目に、第３玉指示をならべ、その指示を３つ目の玉の替わりにする。
その他の第ｎ玉指示も同様にする。
その玉と指示とにより、３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせが指定される。

例えば、以下の組み合わせ：
（１）玉２
（２）第２玉指示(１個目の玉を２個目に追加)
（３）玉３
（４）第４玉指示(３個目の玉を４個目に追加)
（５）第５玉指示(４個目の玉を５個目に追加)
は、
（１）玉２
（２）玉２
（３）玉３
（４）玉３
（５）玉３
の組み合わせに１対１に対応する。

大事なポイントは、この玉と指示の組み合わせ（３種の玉と４種の指示から選んだ５つ）が、３種の玉から重複を許して５個を選ぶ組み合わせに１対１に対応することである。
（１）この玉と指示の組み合わせが、５つの玉を選ぶ１つの組み合わせを表す。
（２）逆に、５つの玉を選ぶ１つの組み合わせは、必ず、この玉と指示の組み合わせによって表すことができる。

そのため、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数
＝３種（３個）の玉と４種の指示から５個を選ぶ組み合わせの数
＝_{（３＋４）}Ｃ_５


場合の数と確率
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