円順列とじゅず順列（７）黒玉３つ白玉４つ

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問７】
（１）●３個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。

（１）先ず、円順列の数を求めます。
玉●と○を並べる席が３＋４＝７箇所あります。
７つの席が固定されているならば、玉●３つを並べる組み合わせの数は、
_７Ｃ_３＝７×６×５／（３×２）＝３５通り
あります。
席への●と○の１つの円順列の配置は、１回転して元の形に戻り、その間の１／７ずつの回転では、固定した席に対しては異なる７つの配置になります。
そのため、席を固定して配置した場合の数は、１つの配置が回転した数がだぶって数えられています。
この問題の場合に、回転することによってできる配置の数は７倍あります。
１つの回転から７倍の配置ができる組み合わせの数は、固定した席の組み合わせの数を７で割り算して数えます。
それは下の図のような●の配置の場合です。

もし、１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になる配置があれば、それは７倍とは異なる倍数の配置ができますが、
この問題の場合では、１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になるものはありません。
つまり、この問題の場合では、席を固定した場合のどの配置も、円順列で１つと数えられる配置を回転して７倍になった配置であって、全て同じタイプの配置です。
よって、全部の円順列の数は、
円順列の数＝３５／７＝５

（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。

（第１のタイプ：線対称な配置）
下の形の配置は、円の中心を通る裏返し線を配置の中心軸にすれば、
裏返し線で裏返した配置の形を、元の配置と同じ形にできるタイプの配置です。

この第１のタイプの配置は３個あります。
第１のタイプ以外の配置（線対称では無い配置）では、その配置を裏返し線で裏返した形は、元の形を回転することでは作れません。
円順列では、第１のタイプ以外の配置では、元の配置と、裏返した後の配置とは異なる２個の配置と数えられています。
このように、第１のタイプ以外の配置は、円順列では２倍に数えられているので、
第１のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、倍率である２で割り算して求められ、その数は、
（５－３）／２＝１
あります。
一方、第１のタイプのじゅず順列の数は３個でした。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝１＋３＝４

場合の数と確率
リンク：高校数学の目次