二次関数のグラフ（放物線の焦点）

放物線の面白い性質を１つ書きます。
この話題は数学Ｃ（高校３年）で学びますが、数学ⅠＡ段階でも、以下の話は理解できるのではないかと思います。

ｙ＝ｘ^２のグラフは以下の放物線グラフです。

このグラフのＡ点（０，１／４）はこの放物線の焦点と呼ばれています。
その理由は、この点Ａから放物線のＢ点（ｘ，ｙ）まで行って、そこから垂直に上に上がってＣ点（ｘ，４）まで行く経路の長さは、いつも同じ長さになるからです。

以下で、このことを示します。
ＡＢ＝√｛ｘ^２＋（ｙ－（１／４））^２｝
＝√｛ｘ^２＋（ｘ^２－（１／４））^２｝
＝√｛（ｘ^２＋（１／４））^２｝
＝ｘ^２＋（１／４）

一方、
ＢＣ＝４－ｙ
＝４－ｘ^２

よって、
ＡＢ＋ＢＣ＝ｘ^２＋（１／４）＋４－ｘ^２
＝（１／４）＋４

このように、ＡからＣまでの経路の長さは、
いつも同じ長さになります。

【放物線による光線の反射】
　放物線上のＢ点でおり曲がる経路と、Ｂ点の近くのＤ点でおり曲がる経路の長さが同じだと、どういうことがおきるかを、以下の図で考えます。

以下に示すように、この図の経路は、光線が放物線の部分ＢＤを鏡にした鏡で反射する経路になります。
先ず、Ｂ点でおり曲がる経路をＡＢＣとし、Ｄ点でおり曲がる経路をＡ１－Ｄ－Ｃ１とします。
経路ＡＢＣと経路Ａ１－Ｄ－Ｃ１は平行で、しかも、その長さが同じです。

経路ＡＢＣと経路Ａ１－Ｄ－Ｃ１の長さが同じであるため、
ＥＤ＝ＢＦ
となります。

△ＯＢＦと△ＯＤＥを考えると、
辺ＢＦ＝辺ＤＥであって、
α＝∠ＯＤＥ＝∠ＯＢＦであり、∠Ｒ＝∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤです。
このように２角侠辺が等しいので、△ＯＢＦと△ＯＤＥとは合同です。
また、△ＯＢＦと△ＯＤＥの残りの角である∠Ｏは
∠Ｏ＝∠Ｒ－α＝βであらわします。

△ＯＢＦと△ＯＤＥとは合同なため、ＯＢ＝ＯＤです。
そのため、三角形ＯＢＤは二等辺三角形になります。
その二等辺三角形ＯＢＤの頂角∠Ｏ（＝∠ＢＯＤ）＝βの２等分線ＯＨは底辺ＢＤに垂直に交わります。

線分ＢＤはβ＝∠ＥＤＨの二等分線になり、
β／２＝∠ＢＤＥ＝∠ＧＤＣ１　の関係があります。

経路Ａ１－Ｄ－Ｃ１を光線の経路と考えると、
∠ＢＤＥ＝β／２は入射する光線が線分ＢＤと成す角であって、
∠ＧＤＣ１＝β／２は反射する光線が線分ＢＤと成す角です。
そして、それらの角度が等しいので、光線の鏡への入射と反射の関係がなりたっています。
そのため、経路Ａ１－Ｄ－Ｃ１は、線分ＢＤの鏡に入射して反射する光線の経路と同じです。

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