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2016年10月23日日曜日
２直線の関係（三角形の垂心の座標）
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問】下図のようにＡ点が原点Ｏにあり、ＢＣがＸ座標軸に平行な三角形ＡＢＣの座標を図のように定義した上で、その三角形の垂心Ｄの座標を求めよ。
（１）点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前ＢとＣを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです。
（２） 高校２年になると、座標点Ｂの座標値の名前が、名前Ｂを引き継いだｂ１などの記号であらわすので、線分ＯＢの長さをｂで表します。
三角形の頂点Ｂに対向する辺ＯＣの長さは、高校１年までとは違って、ｂ以外の記号で（上図ではｃと）表します。
【解答】
上図のように、先ず、三角形の辺の直線の方程式を求める。
次に、その方程式のｘの係数とｙの係数を入れ替えて、一方の係数の正負を逆にすることで、その直線に垂直な直線の方程式を計算する。
その結果、２つの垂線の方程式が、以下のとおりに得られる。
（式１）＊ｂ１－（式２）＊ｃ１を計算して以下の式を得る。
（注意）Ｄ点のｘ座標が０ということは、ＡからＢＣに下ろした垂線にＤ点が交わることを意味する。すなわち、垂心は３つの直線の交点であることが示されている。
（式３）を式１に代入してｙ座標を求める。
∴Ｄの座標は、
上の式の最後の項では、ベクトルAB＝ベクトルｂとし、ベクトルAC＝ベクトルｃとした。
上の式の最初の項から、Ｄ点の辺ＢＣ上の高さは、
である。
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高校数学の目次
【問】下図のようにＡ点が原点Ｏにあり、ＢＣがＸ座標軸に平行な三角形ＡＢＣの座標を図のように定義した上で、その三角形の垂心Ｄの座標を求めよ。
（２） 高校２年になると、座標点Ｂの座標値の名前が、名前Ｂを引き継いだｂ１などの記号であらわすので、線分ＯＢの長さをｂで表します。
三角形の頂点Ｂに対向する辺ＯＣの長さは、高校１年までとは違って、ｂ以外の記号で（上図ではｃと）表します。
【解答】
上図のように、先ず、三角形の辺の直線の方程式を求める。
次に、その方程式のｘの係数とｙの係数を入れ替えて、一方の係数の正負を逆にすることで、その直線に垂直な直線の方程式を計算する。
その結果、２つの垂線の方程式が、以下のとおりに得られる。
（式３）を式１に代入してｙ座標を求める。
上の式の最初の項から、Ｄ点の辺ＢＣ上の高さは、
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高校数学の目次
チェバの定理
第６講「円の性質」（２）メネラウスの定理（３／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
定理１７ チェバの定理
上の図で
(a1/a2)(b1/b2)(c1/c2)＝１
これがチェバの定理です。
以下、この定理を証明します。
【証明】
上図の赤線のように補助線を引きます。
すると、
△ＲＡＸ∽△ＲＢＹから
u＝(c2/c1)m ・・・（１）
△ＱＡＸ∽△ＱＣＺから
t＝(b1/b2)m ・・・（２）
△ＸＢＹ∽△ＸＺＣから
t＝(a2/a1)u ・・・（３）
式（１）と式（２）からｍを消去する。
(u/t)＝(c2/c1)(b2/b1) ・・・（４）
以下で、式（４）と式（３）からｕ／ｔを消去する。
先ず、式（３）から
(t/u)＝(a2/a1)
これを式（４）に代入する。
(a1/a2)＝(c2/c1)(b2/b1)
∴
(a1/a2)(c1/c2)(b1/b2)＝1
（証明おわり）
チェバの定理の問題点として、以下のあいまいさがあります。以下の図は全てチェバの定理です。これらの場合を全て証明しましたか？
（チェバの定理は、ある使わない点Mと三角形ABCの各々の頂点を結ぶ３本の点線を基準にし、
その各点線まで三角形の所定の辺を延長した図形に対して成り立つ定理です。
３本の点線が三角形の内点Mで束ねられ３辺に交わる場合（内チェバ）と、
３本の点線が三角形の外点Mで束ねられ１辺のみと交わる場合（外チェバ）と
の２種類があります。）
上図の様に、チェバの定理が適用できる図形のパターンは、三角形ABCの辺が延長される辺の数が偶数個あるというパターンがあります。
（一方で、メネラウスの定理が適用できる図形のパターンは、ここをクリックした先にあるように、三角形ABCの辺が延長される辺の数が奇数個あるというパターンがあります。）
【チェバの定理の定義】
高校数学でのチェバの定理の定義があいまいです。定理の定義がはっきりしないので、それは、定理の形を成していません。
そのため、以下でチェバの定理の定義を明確にします。
チェバの定理は：
（１）上の５つの図において、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線ＡＢ，ＢＣ，ＣＡと、１つの点M（座標原点）から、各点A,B,Cまで引いた、点線で表した３つの直線（斜交座標軸線）との交点（斜交座標軸点）Ｄ,Ｅ,Ｆを定める。
（２）三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線上における、交点間の線分の長さの間に、以下の関係がある。
（２ａ）全ての交点を、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線同士の交差点である（頂点）Ａ，Ｂ，Ｃと、その（頂点）で無い点の、（斜交座標軸点）Ｄ，Ｅ，Ｆとに分類する。
（２ｂ）そして、全ての交点を、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線上をたどる（斜交座標軸線はたどら無い）一筆書きの様な順（線の重なりはOK）で、以下の順に交点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、その定理の式を定義する。
例えば：
(頂点Ａ）→(斜交座標軸点D)→
(頂点Ｂ）→(斜交座標軸点E)→
(頂点Ｃ）→(斜交座標軸点F)→(最初に選んだ頂点Ａ)
の順に選ぶ。
以下の式のように、その選んだ順に点を結んだ線分の間の式を記述し、その式の値を１とする。（ただし、線分の正負の方向性は定めないものとする）
この式がチェバの定理を表す。
（チェバの定理の定義おわり）
【究極の証明方法】
補助線を引いてチェバの定理を証明するのが面倒くさいので、以下の様に３次元空間を使って証明します。
この平面図形を３次元空間に配置し、
３次元空間での点の高さを括弧（）内に書きます。
上図のように直線ＢＸＱの高さを（０）にし、点Ａの高さを（ｂ２）にし、点Ｃの高さを（－ｂ１）にします。
次に、この図の点Ｐの高さを求めます。
ＡＸ：ＸＰが求められました。
この式を見ると、式にｃ１とｃ２がありません。
図形の左右を入れ替えるとｂとｃが置き換わりますので、
この式をｃであらわすこともできることがわかります。
そのため、同様にして、ＡＸ：ＸＰをｃであらわした式を求めます。
ＡＸ：ＸＰをあわらした以上の２つの式を連立します。
（証明おわり）
《チェバの定理の適用の仕方》
与えられた図形に、チェバの定理の定義に従って、以下の様にチェバの定理を当てはめれば良い。
（１）長さが書き込んである「３つの直線」を求める。
（２）その３つの直線の交差点である３つの（頂点）を求める。
（３）その３つの頂点まで直線で結ぶ原点Ｍを抽出する。その原点Ｍと各頂点を結ぶ直線を斜交座標軸線と認識する。
（４）与えられた図形の点を、３つの直線同士の交差点である（頂点）と、それ以外の、３つの直線と斜交座標軸線との交点（斜交座標軸点）とに分類する。斜交座標軸点が１直線上に並ばないならばチェバの定理が適用できる。もし、斜交座標軸点が一直線上に並ぶ場合は、チェバの定理では無く、メネラウスの定理を適用すべきである。
（５）（頂点）と（斜交座標軸点）を、「３つの直線」上をたどる（斜交座標軸線はたどら無い）一筆書きの様な順（線の重なりはOK）で、以下の順に点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、チェバの定理の式を書く。
（注意）最初に選ぶ点は（斜交座標軸点）では無いことに注意。
リンク：メネラウスの定理等
リンク：高校数学の目次
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
定理１７ チェバの定理
(a1/a2)(b1/b2)(c1/c2)＝１
これがチェバの定理です。
以下、この定理を証明します。
【証明】
上図の赤線のように補助線を引きます。
すると、
△ＲＡＸ∽△ＲＢＹから
u＝(c2/c1)m ・・・（１）
△ＱＡＸ∽△ＱＣＺから
t＝(b1/b2)m ・・・（２）
△ＸＢＹ∽△ＸＺＣから
t＝(a2/a1)u ・・・（３）
式（１）と式（２）からｍを消去する。
(u/t)＝(c2/c1)(b2/b1) ・・・（４）
以下で、式（４）と式（３）からｕ／ｔを消去する。
先ず、式（３）から
(t/u)＝(a2/a1)
これを式（４）に代入する。
(a1/a2)＝(c2/c1)(b2/b1)
∴
(a1/a2)(c1/c2)(b1/b2)＝1
（証明おわり）
チェバの定理の問題点として、以下のあいまいさがあります。以下の図は全てチェバの定理です。これらの場合を全て証明しましたか？
（チェバの定理は、ある使わない点Mと三角形ABCの各々の頂点を結ぶ３本の点線を基準にし、
その各点線まで三角形の所定の辺を延長した図形に対して成り立つ定理です。
３本の点線が三角形の内点Mで束ねられ３辺に交わる場合（内チェバ）と、
３本の点線が三角形の外点Mで束ねられ１辺のみと交わる場合（外チェバ）と
の２種類があります。）
上図の様に、チェバの定理が適用できる図形のパターンは、三角形ABCの辺が延長される辺の数が偶数個あるというパターンがあります。
（一方で、メネラウスの定理が適用できる図形のパターンは、ここをクリックした先にあるように、三角形ABCの辺が延長される辺の数が奇数個あるというパターンがあります。）
【チェバの定理の定義】
高校数学でのチェバの定理の定義があいまいです。定理の定義がはっきりしないので、それは、定理の形を成していません。
そのため、以下でチェバの定理の定義を明確にします。
チェバの定理は：
（１）上の５つの図において、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線ＡＢ，ＢＣ，ＣＡと、１つの点M（座標原点）から、各点A,B,Cまで引いた、点線で表した３つの直線（斜交座標軸線）との交点（斜交座標軸点）Ｄ,Ｅ,Ｆを定める。
（２）三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線上における、交点間の線分の長さの間に、以下の関係がある。
（２ａ）全ての交点を、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線同士の交差点である（頂点）Ａ，Ｂ，Ｃと、その（頂点）で無い点の、（斜交座標軸点）Ｄ，Ｅ，Ｆとに分類する。
（２ｂ）そして、全ての交点を、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線上をたどる（斜交座標軸線はたどら無い）一筆書きの様な順（線の重なりはOK）で、以下の順に交点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、その定理の式を定義する。
例えば：
(頂点Ａ）→(斜交座標軸点D)→
(頂点Ｂ）→(斜交座標軸点E)→
(頂点Ｃ）→(斜交座標軸点F)→(最初に選んだ頂点Ａ)
の順に選ぶ。
以下の式のように、その選んだ順に点を結んだ線分の間の式を記述し、その式の値を１とする。（ただし、線分の正負の方向性は定めないものとする）
この式がチェバの定理を表す。
（チェバの定理の定義おわり）
【究極の証明方法】
補助線を引いてチェバの定理を証明するのが面倒くさいので、以下の様に３次元空間を使って証明します。
３次元空間での点の高さを括弧（）内に書きます。
上図のように直線ＢＸＱの高さを（０）にし、点Ａの高さを（ｂ２）にし、点Ｃの高さを（－ｂ１）にします。
次に、この図の点Ｐの高さを求めます。
この式を見ると、式にｃ１とｃ２がありません。
図形の左右を入れ替えるとｂとｃが置き換わりますので、
この式をｃであらわすこともできることがわかります。
そのため、同様にして、ＡＸ：ＸＰをｃであらわした式を求めます。
ＡＸ：ＸＰをあわらした以上の２つの式を連立します。
《チェバの定理の適用の仕方》
与えられた図形に、チェバの定理の定義に従って、以下の様にチェバの定理を当てはめれば良い。
（１）長さが書き込んである「３つの直線」を求める。
（２）その３つの直線の交差点である３つの（頂点）を求める。
（３）その３つの頂点まで直線で結ぶ原点Ｍを抽出する。その原点Ｍと各頂点を結ぶ直線を斜交座標軸線と認識する。
（４）与えられた図形の点を、３つの直線同士の交差点である（頂点）と、それ以外の、３つの直線と斜交座標軸線との交点（斜交座標軸点）とに分類する。斜交座標軸点が１直線上に並ばないならばチェバの定理が適用できる。もし、斜交座標軸点が一直線上に並ぶ場合は、チェバの定理では無く、メネラウスの定理を適用すべきである。
（５）（頂点）と（斜交座標軸点）を、「３つの直線」上をたどる（斜交座標軸線はたどら無い）一筆書きの様な順（線の重なりはOK）で、以下の順に点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→
(頂点)→(斜交座標軸点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、チェバの定理の式を書く。
（注意）最初に選ぶ点は（斜交座標軸点）では無いことに注意。
リンク：メネラウスの定理等
リンク：高校数学の目次
メネラウスの定理（２／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
以下の問１４をもう１度解きます。
【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、
（１）ＤＦ：ＦＣを求めよ。
【解答】
メネラウスの定理を証明するための補助線は、他の位置に引いても、
線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られます。
そのため、図形のどこにその補助線を引けば良いか、
もう１つの補助線の位置もおぼえておきましょう。
この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のＡＧであり、ＤＣに平行な線です。
この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
（メネラウスの定理を経由せずに）
直接にこの問１４を解きます。
線分ＡＧの長さをｍとします。
ＤＦ＝（ＤＢ／ＡＢ）ｍ＝（２／３）ｍ
ＦＣ＝（ＥＣ／ＡＥ）ｍ＝（３／２）ｍ
ＤＦ／ＦＣ＝（（２／３）ｍ）／（（３／２）ｍ）
＝４／９
∴
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
リンク：メネラウスの定理関係
リンク：高校数学の目次
以下の問１４をもう１度解きます。
【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、
（１）ＤＦ：ＦＣを求めよ。
【解答】
メネラウスの定理を証明するための補助線は、他の位置に引いても、
線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られます。
そのため、図形のどこにその補助線を引けば良いか、
もう１つの補助線の位置もおぼえておきましょう。
この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のＡＧであり、ＤＣに平行な線です。
この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
（メネラウスの定理を経由せずに）
直接にこの問１４を解きます。
線分ＡＧの長さをｍとします。
ＤＦ＝（ＤＢ／ＡＢ）ｍ＝（２／３）ｍ
ＦＣ＝（ＥＣ／ＡＥ）ｍ＝（３／２）ｍ
ＤＦ／ＦＣ＝（（２／３）ｍ）／（（３／２）ｍ）
＝４／９
∴
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
リンク：メネラウスの定理関係
リンク：高校数学の目次
メネラウスの定理（１／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、
（１）ＤＦ：ＦＣを求めよ。
【解答】
メネラウスの定理は、
補助線を良い位置に引けば、線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られる
という定理です。
そのため、図形のどこに補助線を引けば良いか、
図形が回転した位置にあってもわかるようにおぼえておきましょう。
この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のＤＧであり、ＢＥに平行な線です。
この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
（メネラウスの定理を経由せずに）
直接にこの問１４を解きます。
ＧＥ＝（ＤＢ／ＡＢ）・ＡＥ＝（２／３）ＡＥ
ＤＦ／ＦＣ＝ＧＥ／ＥＣ
＝（２／３）ＡＥ／ＥＣ
＝（２／３）・（２／３）
＝４／９
∴
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
【究極の方法】
上の解き方では、補助線を引いて問題を解きましたが、その補助線を考えるのも面倒くさいと思います。
以下の様に考えると、問題をもっと楽に解けます。
問題の平面図形を３次元空間に配置します。
３次元空間での点の高さを括弧（）内に書きます。
上図のように直線ＢＦＥの高さを（０）にし、点Ａの高さを（６）にします。
３次元空間における直線ＡＤＢにおいて、
ＡＤ：ＤＢ＝１：２
の関係があることから、
点Ｄの高さは（４）になる。
直線ＡＥＣにおいて、
ＡＥ：ＥＣ＝２：３
の関係があることから、
点Ｃの高さは（－９）になる。
直線ＤＦＣの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
（解答おわり）
リンク：メネラウスの定理関係
リンク：高校数学の目次
【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、
（１）ＤＦ：ＦＣを求めよ。
【解答】
メネラウスの定理は、
補助線を良い位置に引けば、線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られる
という定理です。
そのため、図形のどこに補助線を引けば良いか、
図形が回転した位置にあってもわかるようにおぼえておきましょう。
この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のＤＧであり、ＢＥに平行な線です。
この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
（メネラウスの定理を経由せずに）
直接にこの問１４を解きます。
ＧＥ＝（ＤＢ／ＡＢ）・ＡＥ＝（２／３）ＡＥ
ＤＦ／ＦＣ＝ＧＥ／ＥＣ
＝（２／３）ＡＥ／ＥＣ
＝（２／３）・（２／３）
＝４／９
∴
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
【究極の方法】
上の解き方では、補助線を引いて問題を解きましたが、その補助線を考えるのも面倒くさいと思います。
以下の様に考えると、問題をもっと楽に解けます。
問題の平面図形を３次元空間に配置します。
上図のように直線ＢＦＥの高さを（０）にし、点Ａの高さを（６）にします。
ＡＤ：ＤＢ＝１：２
の関係があることから、
点Ｄの高さは（４）になる。
直線ＡＥＣにおいて、
ＡＥ：ＥＣ＝２：３
の関係があることから、
点Ｃの高さは（－９）になる。
直線ＤＦＣの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
（解答おわり）
リンク：メネラウスの定理関係
リンク：高校数学の目次
方べきの定理（の逆）の応用問題１（極と極線の関係）
【問】上の図形で、点Ａから円Ｏへ引いた２つの接線ＡＰとＡＱが円と接する点ＰとＱを通る直線上の点Ｂを選ぶ。
（点Ａと直線ＰＱとの関係は、以下のように名付けられています。すなわち、点Ａが極であり直線ＰＱが極線です。）
そのとき、点Ｂから円Ｏへ引いた２つの接線ＢＲとＢＳが円と接する点ＲとＳを結んだ線分ＲＳの延長線が点Ａを通ることを証明せよ。
この問題は難問だと思いますので、以下の解答を見て、証明の仕方を覚えるだけで良いと思います。
円の中心をＯとする。
円の中心と各点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓを結ぶ補助線を引く。
その補助線とその補助線の端と接続する各接線とのなす角度は直角である。
補助線ＯＡを引いて、それと線分ＰＱとの交点をＴとする。
線分ＯＡと線分ＰＱは直交する。
補助線ＯＢを引いて、それと線分ＲＳとの交点をＵとする。
線分ＯＢと線分ＲＳは直交する。
△ＯＴＰと△ＯＰＡは、いずれも直角三角形で、２角が等しいから相似である。
そのため、
ＯＴ：ＯＰ＝ＯＰ：ＯＡ
∴ ＯＴ・ＯＡ＝ＯＰ２ （１）
同様にして、△ＯＵＲと△ＯＲＢは相似な直角三角形であるので、
ＯＵ・ＯＢ＝ＯＲ２ （２）
円の半径ＯＰ＝ＯＲである。
この関係を使って、式（１）と式（２）から、以下の関係が得られる。
ＯＴ・ＯＡ＝ＯＵ・ＯＢ （３）
以下のように、方べきの定理の逆の関係が成り立っている
線分ＴＡの延長線と線分ＵＢの延長線とが点Ｏで交わり、式（３）の関係があるので、
４点Ｔ，Ａ，Ｕ，Ｂは、下図のように、１つの円周上にある。
その新しい円について、
円周角の∠ＡＴＢ＝∠ＡＵＢ＝∠Ｒ
∴ ＵＢとＵＡは直交する。
一方、ＵＢとＵＳは直交する。
ＵＳもＵＡもＵＢに直交するので、
ＵＳとＵＡは同一直線上にある。
∴ ＵＡと、点Ｕを含む線分ＲＳは同一直線上にある。
すなわち、線分ＲＳの延長線が点Ａを通る。
（証明終わり）
（この定理の双曲線への応用は、ここをクリックしてジャンプする）。
リンク：
極と極線
ベクトル方程式による極と極線
放物線の極線
放物線の極と極線
複素数平面での円の極と極線
円の性質
方べきの定理の証明
リンク：高校数学の目次
方べきの定理の証明
第６講「円の性質」（１）円周角（２／２）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
【定理１５】円の弦ＡＢの延長と円周上の点Ｔにおける接線が点Ｐで交わるとき、次のことが成り立つ。
ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ２
（これを「方べきの定理」と呼ぶ）
【証明】
上図のように書くと、
接弦定理により〇＝∠ＰＴＡ＝∠ＰＢＴ
∠Ｐは共通だから、
２角相当で、
△ＰＡＴ∽△ＰＴＢ
したがって、
ＰＡ／ＰＴ＝ＰＴ／ＰＢ
すなわち、
ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ２
（証明おわり）
《点Pが円内にある場合の方べきの定理》
リンク：
方べきの定理（の逆）の応用問題１
円の性質
高校数学の目次
【定理１５】円の弦ＡＢの延長と円周上の点Ｔにおける接線が点Ｐで交わるとき、次のことが成り立つ。
ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ２
（これを「方べきの定理」と呼ぶ）
上図のように書くと、
接弦定理により〇＝∠ＰＴＡ＝∠ＰＢＴ
∠Ｐは共通だから、
２角相当で、
△ＰＡＴ∽△ＰＴＢ
したがって、
ＰＡ／ＰＴ＝ＰＴ／ＰＢ
すなわち、
ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ２
（証明おわり）
《点Pが円内にある場合の方べきの定理》
リンク：
方べきの定理（の逆）の応用問題１
円の性質
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