佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】直線ｙ＝ｍｘと円（ｘ－２）２＋ｙ２＝３が２点ＰとＱで交差する場合において、ｍの変化範囲が、交差点のＰ、Ｑが存在し、かつ、その２点が重ならない場合における、線分ＰＱの中点Ｒの軌跡を求めよ。
この問題を解く方針としては、Ｘのみをパラメータａであらわす式と、Ｙのみをパラメータａであらわす式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
そのため、以下では、その方針で問題を解きます。
計算する上で記号を間違えないために、Ｐ点の座標をＰ（ａ，ｂ）とし、Ｑ点の座標をＱ（ｃ，ｄ）とあらわして計算する。
ＰＱの中点Ｒ（Ｘ，Ｙ）は以下の式であらわされる。
Ｘ＝（ａ＋ｃ）／２ （式１）
Ｙ＝（ｂ＋ｄ）／２ （式２）
交点ＰとＱは以下の式で求められる。
ｙ＝ｍｘ （式３）
（ｘ－２）２＋ｙ２＝３ （式４）
式３を式４に代入してｙを消去してｘをｍであらわす。
（ｘ－２）２＋（ｍｘ）２＝３
（ｍ２＋１）ｘ２－４ｘ＋１＝０ （式５）
この式５は点Ｐのｘ座標ａと点Ｑのｘ座標ｃに関しては以下の式であると考えられる。
（ｍ２＋１）（ｘ－ａ）（ｘ－ｃ）＝０ （式６）
式５と式６が同一式であるので、以下の関係がなりたつ。
－４ｘ＝－（ｍ２＋１）（ａ＋ｃ）ｘ
この式を変形する。
（ａ＋ｃ）＝４／（ｍ２＋１） （式７）
この式７を式１に代入して以下の式を得る。
Ｘ＝（ａ＋ｃ）／２＝２／（ｍ２＋１） （式８）
式３のｘ＝ａであるときｙ＝ｂ、ｘ＝ｃであるときｙ＝ｄである関係を使って式２を変形する。
Ｙ＝（ｂ＋ｄ）／２＝ｍ（ａ＋ｂ）／２
この式に式７を代入して以下の式を得る。
Ｙ＝ｍ（ａ＋ｃ）／２＝２ｍ／（ｍ２＋１） （式９）
式８と式９でＸとＹがｍであらわせた。
このような式のグループからｍを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式８と式９が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式８の分子と式９の分子を足し算して式８及び９の分母ができるか、あるいは分子からパラメータｍが消えないかを考える。
（式８の分子にはパラメータｍが無いので、既に、この条件を満たす式８が得られている。この式８は後で用いる。）
（３）単純な足し算では、式８及び９の分母が出来ない場合は、、式８の分子の二乗と式９の分子の二乗を足し算して式８及び９の分母ができるかを考える。
この式８の分子の二乗と式９の分子の二乗を足し算して式８及び９の分母ができることがわかります。
そのため、式８の二乗と式９の二乗を足し算します。
Ｘ２＋Ｙ２＝｛１＋ｍ２｝（２／（ｍ２＋１））２
Ｘ２＋Ｙ２＝２２／（ｍ２＋１） （式１０）
式１０と式８は、分母が同じで、その分子にはパラメータｍが入っていないことに注目する。そのため、式１０と式８に係数を掛け算して足し合わせることで、右辺の複雑な分数の式を消去できるので、以下でそうする。
－２・（式８）＋（式１０）を計算する。
－２Ｘ＋Ｘ２＋Ｙ２＝０
（ｘ－１）２＋Ｙ２＝１ （式１１）
ここで、この円と直線は、下の図のようになる。
式５でｍの範囲が負のある値から正のある値までの範囲内にあれば、直線ｙ＝ｍｘと円とが交差する。その境界の値では両者が接して点ＰとＱが重なってしまう。
そのため、異なるＰ点とＱ点で直線と円とが交差するためには、直線が円に接する場合は除外しなければならない。
しかし、式８と式９では、直線ｙ＝ｍｘが円に接しない場合でも存在しないＰ点とＱ点の中点のＲの座標が計算されてしまっている。
（これは、存在しない交点のＰ点とＱ点の座標が複素数で与えられ、その中点のＲが実在の点として存在していることをあらわしているが、そういう概念は高校数学の範囲を大きく超えるので、この問題を解くには、それは考えないことにする。）
Ｐ点とＱ点が重なる場合、すなわち、直線ｙ＝ｍｘと円とが接する場合のｍの値を式５から計算する。
（以下の計算は「判別式」を急きょ導出する計算です：判別式を思い出しても、その記憶の確かさを確認するのが面倒と思っている人専用の解き方です）
そのｍの値は、式５が重根を持つ、以下の式１２に等しくなる場合のｍの値である。
（ｍ２＋１）（ｘ－ａ）２＝０ （式１２）
この式１２を式５と比べる。
２（ｍ２＋１）ａ＝４ （式１３）
（ｍ２＋１）ａ２＝1 （式１４）
（式１３）を式１４に代入してａを消去する。
（ｍ２＋１）（２／（ｍ２＋１））２＝1
４＝（ｍ２＋１）
３＝ｍ２
ｍ＝±√３ （式１５）
この式１５を式８に代入する。
Ｘ＝２／（（±√３）２＋１）＝２／４＝１／２
式１５を式９に代入する。
Ｙ＝２（±√３）／（（±√３）２＋１）＝（±√３）／２
よって、Ｒ（Ｘ，Ｙ）の描く軌跡は、ｍが－√３近くから＋√３近くまで変わるときに、
（１／２）＜Ｘ≦２
の範囲の上図の円（式１１）の範囲を、
（１／２，－√３）の近くから（２，０）を経由して（１／２，√３）の近くまで移動する。
このことは上の図を書くことにより、明確にわかる。
高校数学の目次
【問１】直線ｙ＝ｍｘと円（ｘ－２）２＋ｙ２＝３が２点ＰとＱで交差する場合において、ｍの変化範囲が、交差点のＰ、Ｑが存在し、かつ、その２点が重ならない場合における、線分ＰＱの中点Ｒの軌跡を求めよ。
この問題を解く方針としては、Ｘのみをパラメータａであらわす式と、Ｙのみをパラメータａであらわす式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
そのため、以下では、その方針で問題を解きます。
計算する上で記号を間違えないために、Ｐ点の座標をＰ（ａ，ｂ）とし、Ｑ点の座標をＱ（ｃ，ｄ）とあらわして計算する。
ＰＱの中点Ｒ（Ｘ，Ｙ）は以下の式であらわされる。
Ｘ＝（ａ＋ｃ）／２ （式１）
Ｙ＝（ｂ＋ｄ）／２ （式２）
交点ＰとＱは以下の式で求められる。
ｙ＝ｍｘ （式３）
（ｘ－２）２＋ｙ２＝３ （式４）
式３を式４に代入してｙを消去してｘをｍであらわす。
（ｘ－２）２＋（ｍｘ）２＝３
（ｍ２＋１）ｘ２－４ｘ＋１＝０ （式５）
この式５は点Ｐのｘ座標ａと点Ｑのｘ座標ｃに関しては以下の式であると考えられる。
（ｍ２＋１）（ｘ－ａ）（ｘ－ｃ）＝０ （式６）
式５と式６が同一式であるので、以下の関係がなりたつ。
－４ｘ＝－（ｍ２＋１）（ａ＋ｃ）ｘ
この式を変形する。
（ａ＋ｃ）＝４／（ｍ２＋１） （式７）
この式７を式１に代入して以下の式を得る。
Ｘ＝（ａ＋ｃ）／２＝２／（ｍ２＋１） （式８）
式３のｘ＝ａであるときｙ＝ｂ、ｘ＝ｃであるときｙ＝ｄである関係を使って式２を変形する。
Ｙ＝（ｂ＋ｄ）／２＝ｍ（ａ＋ｂ）／２
この式に式７を代入して以下の式を得る。
Ｙ＝ｍ（ａ＋ｃ）／２＝２ｍ／（ｍ２＋１） （式９）
式８と式９でＸとＹがｍであらわせた。
このような式のグループからｍを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式８と式９が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式８の分子と式９の分子を足し算して式８及び９の分母ができるか、あるいは分子からパラメータｍが消えないかを考える。
（式８の分子にはパラメータｍが無いので、既に、この条件を満たす式８が得られている。この式８は後で用いる。）
（３）単純な足し算では、式８及び９の分母が出来ない場合は、、式８の分子の二乗と式９の分子の二乗を足し算して式８及び９の分母ができるかを考える。
この式８の分子の二乗と式９の分子の二乗を足し算して式８及び９の分母ができることがわかります。
そのため、式８の二乗と式９の二乗を足し算します。
Ｘ２＋Ｙ２＝｛１＋ｍ２｝（２／（ｍ２＋１））２
Ｘ２＋Ｙ２＝２２／（ｍ２＋１） （式１０）
式１０と式８は、分母が同じで、その分子にはパラメータｍが入っていないことに注目する。そのため、式１０と式８に係数を掛け算して足し合わせることで、右辺の複雑な分数の式を消去できるので、以下でそうする。
－２・（式８）＋（式１０）を計算する。
－２Ｘ＋Ｘ２＋Ｙ２＝０
（ｘ－１）２＋Ｙ２＝１ （式１１）
ここで、この円と直線は、下の図のようになる。
式５でｍの範囲が負のある値から正のある値までの範囲内にあれば、直線ｙ＝ｍｘと円とが交差する。その境界の値では両者が接して点ＰとＱが重なってしまう。
そのため、異なるＰ点とＱ点で直線と円とが交差するためには、直線が円に接する場合は除外しなければならない。
しかし、式８と式９では、直線ｙ＝ｍｘが円に接しない場合でも存在しないＰ点とＱ点の中点のＲの座標が計算されてしまっている。
（これは、存在しない交点のＰ点とＱ点の座標が複素数で与えられ、その中点のＲが実在の点として存在していることをあらわしているが、そういう概念は高校数学の範囲を大きく超えるので、この問題を解くには、それは考えないことにする。）
Ｐ点とＱ点が重なる場合、すなわち、直線ｙ＝ｍｘと円とが接する場合のｍの値を式５から計算する。
（以下の計算は「判別式」を急きょ導出する計算です：判別式を思い出しても、その記憶の確かさを確認するのが面倒と思っている人専用の解き方です）
そのｍの値は、式５が重根を持つ、以下の式１２に等しくなる場合のｍの値である。
（ｍ２＋１）（ｘ－ａ）２＝０ （式１２）
この式１２を式５と比べる。
２（ｍ２＋１）ａ＝４ （式１３）
（ｍ２＋１）ａ２＝1 （式１４）
（式１３）を式１４に代入してａを消去する。
（ｍ２＋１）（２／（ｍ２＋１））２＝1
４＝（ｍ２＋１）
３＝ｍ２
ｍ＝±√３ （式１５）
この式１５を式８に代入する。
Ｘ＝２／（（±√３）２＋１）＝２／４＝１／２
式１５を式９に代入する。
Ｙ＝２（±√３）／（（±√３）２＋１）＝（±√３）／２
よって、Ｒ（Ｘ，Ｙ）の描く軌跡は、ｍが－√３近くから＋√３近くまで変わるときに、
（１／２）＜Ｘ≦２
の範囲の上図の円（式１１）の範囲を、
（１／２，－√３）の近くから（２，０）を経由して（１／２，√３）の近くまで移動する。
このことは上の図を書くことにより、明確にわかる。
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