第４講 軌跡（３）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】原点をＯとする。直線ｘ＋ｙ＝５上をＰ点が動くとき、半直線ＯＰ上に、ＯＰ・ＯＱ＝２０となる点Ｑを置く。そのＱ点の軌跡を求めよ。

計算する上で記号を間違えないために、Ｐ点の座標をＰ（ａ，ｂ）とあらわして計算する。
ａ＋ｂ＝５　（式１）
Ｘ＝ｔ・ａ　（式２）
Ｙ＝ｔ・ｂ　（式３）
√｛ａ^２＋ｂ^２｝・ｔ√｛ａ^２＋ｂ^２｝＝２０
∴　ｔ｛ａ^２＋ｂ^２｝＝２０　（式４）

　この問題を解く方針としては、Ｘのみをパラメータａであらわす式と、Ｙのみをパラメータａであらわす式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
　大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
　そのため、以下では、その方針で問題を解きます。

式１から、
ｂ＝５－ａ　（式５）
式５を式４に代入して整理する。
ｔ＝２０／｛ａ^２＋（５－ａ）^２｝ （式６）
式６を式２に代入する。
Ｘ＝２０ａ／｛ａ^２＋（５－ａ）^２｝ （式７）
式６と式５を式３に代入する。
Ｙ＝２０（５－ａ）／｛ａ^２＋（５－ａ）^２｝ （式８）

式７と式８でＸとＹがａであらわせた。
このような式のグループからａを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式７と式８が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式７の分子と式８の分子を足し算して式７及び８の分母ができるか、あるいは分子からパラメータａを消せないかを考える。
　この式７の分子と式８の分子を足し算すれば、分子から変数ａが消去できることがわかります。
そのため、式７と式８を足し算する。
Ｘ＋Ｙ＝２０・５／｛ａ^２＋（５－ａ）^２｝ （式９）

（３）次に、式７の分子の二乗と式８の分子の二乗を足し算して式７及び８の分母ができるかを考えます。
　この式７の分子の二乗と式８の分子の二乗を足し算して式７及び８の分母ができることがわかります。
そのため、式７の二乗と式８の二乗を足し算します。
Ｘ^２＋Ｙ^２
＝｛ａ^２＋（５－ａ）^２｝（２０／｛ａ^２＋（５－ａ）^２｝）^２
＝２０^２／｛ａ^２＋（５－ａ）^２｝　（式１０）
式９と式１０の分母が同じで、しかも、その分子にはパラメータａが入っていないことに注目する。そういう場合には、式９と式１０に係数を掛け算して足し合わせることで、右辺の複雑な分数の式を消去できるので、以下でそのようにする。
－（式９）・４＋（式１０）を計算する。
－４（Ｘ＋Ｙ）＋Ｘ^２＋Ｙ^２＝０
（ｘ－２）^２＋（Ｙ－２）^２＝８
ここで、この円と直線は、下の図のようになる。

式７と式８でａが負の無限大か正の無限大に大きくなれば、Ｘ＝０，Ｙ＝０に近づくが、Ｑ（Ｘ，Ｙ）は決して（０，０）には到達しない。
この図を書くことにより、そのことが明確にわかる。

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