第４講 軌跡（５）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】円ｘ^２＋ｙ^２＝１と定点Ａ（３，－２）がある。この円周上の動点Ｑにおける接線上に点Ｐ（Ｘ，Ｙ）をとり、ＡＰ＝２ＰＱにするとき、点Ｐの軌跡の方程式を求めよ。

（目標の設定）
　この問題を解く方針の検討において、定石に従って、先ずは、Ｐ点のＸ座標のみを何かのパラメータであらわす第１の式と、Ｙ座標のみを何かのパラメータであらわす第２の式を求めたかった。定石では、その次に、ＸとＹの間に成り立つ関係式を求める。
　しかし、Ｘ座標又はＹ座標を何らかのパラメータを使ってあらわす式は、簡単には導けそうにない。そのＸ座標あるいはＹ座標をあらわす式を求めるためには、２次方程式を解かなければいけないように見える。
　そうするには、その式を求めるだけでも、ずいぶん手間がかかりそうだ。
　そのため、仕方ないので、定石である上記の方針を変更して、先ずは、点ＰのＸ座標とＹ座標の間になりたつ関係式を導くことにする。そして、その関係式をあらわすグラフを描いて、図を見ることで、求められた方程式があらわすグラフのどの部分を、点Ｐが動くかを調べることにする。

（解答）
接点ＱからＰまでの線分の長さＱＰは、三角形ＯＱＰが直角三角形であることからＱＰ＝√（ＯＰ^２－ＯＱ^２）である。そのため、以下の式が成り立つ。
ＱＰ^２＝ＯＰ^２－ＯＱ^２
ＱＰ^２＝Ｘ^２＋Ｙ^２－１ （式１）

２ＰＱ＝ＡＰであるので、
（２ＰＱ）^２＝ＡＰ^２
４｛Ｘ^２＋Ｙ^２－１｝＝（Ｘ－３）^２＋（Ｙ＋２）^２
３Ｘ^２＋３Ｙ^２－４＝－６Ｘ＋９＋４Ｙ＋４
３Ｘ^２＋６Ｘ＋３Ｙ^２－４Ｙ＝１７
Ｘ^２＋２Ｘ＋Ｙ^２－（４／３）Ｙ＝１７／３
（Ｘ＋１）^２＋（Ｙ－（２／３））^２＝（１７／３）＋１＋（２／３）^２
（Ｘ＋１）^２＋（Ｙ－（２／３））^２＝（５１／９）＋（９／９）＋（４／９）
（Ｘ＋１）^２＋（Ｙ－（２／３））^２＝（８／３）^２　（式２）
ここで、この円は、下の図のようになる。

Ｐ点がこの円上の全範囲を移動するかどうか、Ｑ点の位置が移動する場合にＰ点がどこに来るかを図を見ながら検討する。
この図の場合は、点Ｑが円ｘ^２＋ｙ^２＝１の全円周上を移動する場合に、ＡＰ＝２ＰＱの関係を満足する点Ｐも（式２）の全円周上を動くことが図からわかる。

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