３色玉の順列の数

【３色の玉を１列にならべる並べ方の数の問題】
　玉×２個と○３個と●４個を１列に並べる並べ方の数を求めよ。

《解答の基本》
　玉を並べる問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方である。
(1)全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えるべき。その個性のある個々の玉に係わる計算によって問題を解くべき。
(2)計算は、必ず、それらの個性のある個々の玉に結び付けて行うべき。

【解答】

　この問題は、上図のように、全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えます。
　例えば玉○３個は区別されないので、上図のように、３個を並び変えた３！＝６個の並び方は全部区別されずに１個の並びと数えます。すなわち、個々の玉の順列の数を、３個の玉〇の並べ方のバラエティの数３！で割り算します。
　同様に、玉×２個を並び変えた２！＝２個の並び方は全部区別されずに１個の並びと数えます。
　同様に、玉●４個を並び変えた４！＝４×３×２＝２４個の並び方は全部区別されずに１個の並びと数えます。
　玉×も○も●も全部の玉を１つ１つ区別して並べる順列の数は（２＋３＋４）！＝９！です。
その順列の数は、
同じ色の玉同士を区別しない配置の順列の数に対して、
玉×の全部を区別した場合は２！倍の順列になり、
玉○の全部を区別した場合は３！倍の順列になり、
玉●全部を区別した場合は４！倍の順列になり、
玉×も○も●も全部の玉を１つ１つ区別した場合は２！×３！×４！倍の順列になります。
　よって、同じ色の玉同士を区別しない配置の順列は、個々の玉を並べる順列の数を、各種類毎の玉の並べ方のバラエティの数で割り算する以下の計算をして

になります。

この考え方は一般化でき、
玉×がｍ個、○がｎ個、●がｐ個、△がｑ個、□がｒ個を順番に並べる順列で、同じ色（形）の玉同士を区別しない順列の数は、

です。

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