二次方程式の解と複素数（１）ｘの分数式を、ｘの一次式を分母にする分数の和であらわす

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第４講　２次方程式の解と複素数

【問】次の式を、ｘの一次式を分母にする分数の和であらわせ。
１／（ｘ^２＋１）　（式１）

この式１は以下のように変形して解きます。
１／（ｘ^２＋１）
＝１／（（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ））
＝ａ／（ｘ＋ｉ）＋ｂ／（ｘ－ｉ）　（式２）

式２のａとｂは以下の式を解いて求める。
ａ（ｘ－ｉ）／（（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ））
＋ｂ（ｘ＋ｉ）／（（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ））
＝１／（（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ））
分子だけ考えて、
ａ（ｘ－ｉ）＋ｂ（ｘ＋ｉ）＝１　（式３）
式３はｘの値が何であっても、いつも成り立っている恒等式であるので、ｘの係数は０でなければならない。ｘの係数が０であるために、以下の式４がなりたつ。
ｂ＝－ａ　（式４）
式４を式３に代入すると以下の式になる。
ａ（ｘ－ｉ）－ａ（ｘ＋ｉ）＝－２ａ・ｉ＝１
ａ＝１／（－２ｉ）
＝ｉ／（－２ｉ・ｉ）
＝ｉ／（２）
＝ｉ／２　（式５）
式５を式４に代入してｂを求める。
ｂ＝－ｉ／２ （式６）
式５と式６を式２に代入すると、以下の答えが得られる

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