第４講 軌跡（６）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】点Ｐ（ａ，ｂ）と点Ｑ（Ｘ，Ｙ）の間に、次の関係があるものとする。
Ｘ＝ｋａ／（ａ^２＋ｂ^２）　（式１）
Ｙ＝ｋｂ／（ａ^２＋ｂ^２）　（式２）
（ｋは０でない定数）
点Ｐ（ａ，ｂ）が直線１２ｘ－５ｙ＋１＝０上を動くとき、点Ｑ（Ｘ，Ｙ）はどんな図形を描くか。

ここで、直線の式に点Ｐ（ａ，ｂ）の座標を代入した式３を書いておく。
１２ａ－５ｂ＋１＝０　（式３）

（解き方の方針）
　この問題は、式３の直線上の点Ｐと原点を結ぶ半直線上の点Ｑに関して、ＯＰ・ＯＱ＝ｋとなる場合のＱ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を、Ｘのみをパラメータａ又はｂであらわす式と、Ｙのみをパラメータａ又はｂであらわす式とを求めた後に、
それらの式からＸとＹの関係式を考える問題です。
　以下では、そのような場合に、素早く問題を解く計算技術を示す。

（解答）
式１と式２のような式のグループからパラメータａ又はｂを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式１と式２が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式１の分子と式２の分子を足し算して式１及び２の分母ができるか、あるいは分子からパラメータａ又はｂを消せないかを考える。
（３）単なる足し算で式１及び式２の分母ができない場合は、次に、式１の分子の二乗と式２の分子の二乗を足し算して式１及び２の分母ができるかを考える。
　この問題の場合、式１の分子の二乗と式２の分子の二乗を足し算して式１及び２の分母ができることがわかるので、式１の二乗と式２の二乗を足し算する。
Ｘ^２＋Ｙ^２＝ｋ^２｛ａ^２＋ｂ^２｝／（ａ^２＋ｂ^２）^２
Ｘ^２＋Ｙ^２＝ｋ^２／（ａ^２＋ｂ^２）　（式４）
この式４により、分子にはパラメータａもｂも含まれず定数のみであらわせた式が得られた。

この式４と、式１と式２を使って、分母が同じで、分子が式３であらわされる式を作る。
その式は、分子が式３を満足するので、値が０である。 １２（Ｘ／ｋ）－５（Ｙ／ｋ）＋（Ｘ^２＋Ｙ^２）／ｋ^２＝０
１２ｋＸ－５ｋＹ＋（Ｘ^２＋Ｙ^２）＝０　（式５）
（計算技術についての考察）
　ここまでの計算で、ｂは式３により、ａであらわせる式であるが、分母が共通な式を利用して、分子だけで式３を満足する式を作った。この計算により、分母のｂをａであらわす計算をせずに、分母を含めて、パラメータであらわされた項をまとめて消去することに成功した。このようにすることで、分母を計算する手間が省けた。

なお、ここで（０，０）を式５に代入すれば左辺が０になるので、点（０，０）は式５の円を通る。このことに注目して、おぼえておく。
次に、式５を変形する。
（Ｘ＋６ｋ）^２＋（Ｙ－（５ｋ／２））^２＝（６ｋ）^２＋（５ｋ／２）^２
（Ｘ＋６ｋ）^２＋（Ｙ－（５ｋ／２））^２＝（１３ｋ／２）^２
この式は中心が（－６ｋ，（５ｋ／２））にあり、（０，０）を通り、半径が（１３ｋ／２）の円である。
この円と直線の関係をあらわす図を下の図のように書ける。

この図で、直線上の点Ｐ（ａ，ｂ）が左右方向に無限遠方に遠ざかれば、Ｑ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）に近づくが、Ｑ（Ｘ，Ｙ）は決して（０，０）には到達しない。
この図を書くことにより、そのことが明確にわかる。

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