２次方程式の解と複素数（１）２次方程式と複素数

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第４講　２次方程式の解と複素数

２次方程式が因数分解し切れない場合があるのを改善するため、複素数を導入して、全ての２次法廷式を因数分解できるようにする。

【問】次の式を因数分解せよ。
ｘ^２＋１

この式は以下のように変形して解きます。
《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
ｘ^２＋１
＝（ｘ－ｉ）（ｘ＋ｉ）

ここで使った数　ｉ　は虚数と呼ばれています。
ｉ^２ ＝－１
という、２乗すると負になる数です。
この虚数 ｉ は、目に見えない世界をあらわす数です。

目に見えない世界をあらわす虚数を使うと、数学がより自由に自然現象を記述できるようになります。
例えば、全ての二次方程式を因数分解できるようになることがその１つのメリットです。

《複素数平面》
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面を複素数平面と呼び、
その平面上の点で複素数をあらわします。

上図のように、例えば、虚数 ｉ や、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。

この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例　|ｉ|＝１

　上の図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。

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