第４講 軌跡（２）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０　（直線１）
ｘ＋ｍｙ－５＝０　　（直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。

交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）を与える式は、２直線を与える式をそのまま使うことができる。
ｍＸ－Ｙ＋５ｍ＝０　（式１）
Ｘ＋ｍＹ－５＝０　　（式２）
ここで、この式を連立してｍを消去すれば、ＸとＹの式が得られるが、
その場合は、式からｍが消えてしまうので、ｍの値の増減とともにＰ（Ｘ，Ｙ）がどういうふうに移動して、どこまでがその移動範囲であるかどうかがわからなくなってしまうという欠点がある。
　そのため、この問題を解く方針としては、式１と式２から、Ｘのみをｍで与える式と、Ｙのみをｍで与える式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
　大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
　そのため、以下では、その方針で問題を解きます。

（式１）・ｍ＋（式２）を計算してＹを消去する。
｛ｍ^２Ｘ－ｍＹ＋５ｍ^２｝＋｛Ｘ＋ｍＹ－５｝＝０
（ｍ^２＋１）Ｘ＋５（ｍ^２－１）＝０
Ｘ＝－５（ｍ^２－１）／（ｍ^２＋１）　（式３）
（式１）－（式２）・ｍを計算してＸを消去する。
｛ｍＸ－Ｙ＋５ｍ｝－｛ｍＸ＋ｍ^２Ｙ－５ｍ｝＝０
－（１＋ｍ^２）Ｙ＋１０ｍ＝０
Ｙ＝１０ｍ／（ｍ^２＋１）　（式４）
式３と式４でＸとＹがｍであらわせた。
このような式のグループからｍを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式３と式４が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式３の分子と式４の分子を足し算して式３及び４の分母にできないかを考える。
（３）単純な足し算では、式３及び４の分母が出来ない場合は、分子を二乗して足し算して式３及び４の分母ができないかを考える。
　この式３の分子の二乗と式４の分子二乗を足し算すれば、式３及び式４の分母の二乗が作れることがわかります。
そのため、式３の二乗と式４の二乗を足し算します。
Ｘ^２＋Ｙ^２
＝｛（ｍ^２－１）^２＋（２ｍ）^２｝・（５／（ｍ^２＋１））^２
＝｛ｍ^４＋２ｍ^２＋１｝・（５／（ｍ^２＋１））^２
＝｛（ｍ^２＋１）^２｝・（５／（ｍ^２＋１））^２
＝５^２
∴　Ｘ^２＋Ｙ^２＝５^２　（式５）
ここで、式５は円の式ですが、そのＸは式３のようにｍであらわせる。
式３は変形すると
Ｘ＝－５＋１０／（ｍ^２＋１）　（式６）
式６は、ｍが－∞＜ｍ＜＋∞の範囲内で変化するとき、Ｘが、以下の範囲内を変化することをあらわしている。
－５＜Ｘ≦＋５
すなわち、Ｘがー５になるには、１／（ｍ^２＋１）が０にならなければならないが、それは、ｍがどれだけ大きくても０にはならない。そのため、Ｘ＝－５は式５があらわす円の一部であるが、その点は式６及び式３ではあらわされない。

式４を見ると、ｍが正であるか負であるかによってＹも正や負になることをあらわしている。
この関係を以下のように図示する。

結局、ｍが０から負の無限大に向かうとき、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は、式５であらわされる円の（５，０）から負のＹの値の円の下側の周を（－５，０）に向かって進む。
ｍが０から正の無限大に向かうとき、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は、式５であらわされる円の（５，０）から正のＹの値の円の下側の周を（－５，０）に向かって進む。
しかし、Ｐ点は決して、（－５，０）には到着しない。

高校数学の目次