２次方程式の解と複素数（１）虚数の平方根

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第４講　２次方程式の解と複素数

【問】次の式を解け。


この式１の解は実数ａとｂを使って以下の式２であらわせると仮定して解きます。

両辺を二乗する。

上の式の実数の係数で以下の式４が成り立ち、虚数の係数で式３がなりたつ。


式４から、
ａ＝±ｂ　（式５）
式５を式３に代入する。
ｉ＝±２ｂ^２・ｉ
ｉ＝２ｂ^２・ｉ
（ａ＝ｂ　のみ成りたつ）
１＝２ｂ^２
１／２＝ｂ^２
±１／√２＝ｂ
ａ＝±１／√２
よって、式２は、以下の式である。

《複素数平面》
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面を複素数平面と呼び、
その平面上の点で複素数をあらわします。

上図のように、例えば、虚数 ｉ や、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。

この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例　|ｉ|＝１

　上の図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。

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