2013年12月31日火曜日

第4講 軌跡(1)

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問1】下図のように点A(a,a)とB(b,b)と原点を中心とする半径rの円上を動く点P(p,p)とを頂点とする三角形の重心G(x,y)は、点Pがその円上を動くとき、どういう軌跡を動くか。その点G(x,y)の描く軌跡の方程式を導け。
先ず、動く点P(p,p)の円の方程式を書く
次に、重心の座標の公式を使って、重心G(x,y)の座標を書く。
式1に式2と式3を代入してpとpを消去したい。
そのために、式2を以下の式に変形する。
同様にして、式3を以下の式5に変形する。
この式4と式5を式1に代入してpとpを消去する。
両辺を3で割り算する。
この点G(x,y)は、中心点
を中心とする、半径
の円周上にある。 

【問2】
 次に、点Gがその円周上を完全に一周するかを調べよ。

完全に一周するかどうかを調べるには、偏角をあらわすパラメータθで点Pの位置をあらわす。
式1を満足する点Pの座標P(p,p)は、以下の式であらわされる。
=r・cosθ (式8)
=r・sinθ (式9)
θが0から2πラジアンまで変わるとP点は円周を一周する。
式8と式9を式2と式3に代入する。
式10と式11を変形する。
式12と式13から、
点G(x,y)は、
中心点
を中心とする、半径
の円周上の偏角θの位置にあり、
θが0から2πまで変化すれば、半径(r/3)の円周上を一回転する。

結局、点G(x,y)が円周上を一周するかどうかまで確かめなければならないので、問2を避けては通れない。
そのため、問1を解くのを省略して、問2を解いて、
点G(x,y)は、
中心点
を中心とする、半径
の円周上の偏角θの位置にある
という結論を得る方が効率的に全ての答えが得られる。
その円の方程式は、
とあらわせる。

リンク  
高校数学の目次

0 件のコメント:

コメントを投稿