「三角錐の重心Ｏの位置は、その高さの４分の１になります。」
以下に、三角錐の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角錐の重心を３次元座標の原点Ｏにして考えます。
三角錐ＡＢＣＤの頂点の座標の平均
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）／４
が三角錐の重心です。
図のように、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝（０，０，０）となるように座標を定めます。
ここで、三角錐の底面の三角形ＢＣＤの重心Ｇを定めると、
Ｇの座標は、
Ｇ（（b+c+d）／３，（e+f+g）／３，（h+k+m）／３）＝－Ａ／３
になり、
ＯＧは０Ａに平行で長さが３分の１
の関係があることがわかります。
すなわち、ＡＧは重心Ｏ点を通ることがわかり、
線分ＡＧが点Ｏで３：１に分割されることもわかります。
すなわち、
三角錐の重心Ｏの位置は、その高さの４分の１になる
ことがわかります。
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以下に、三角形の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角形の重心を座標の原点Ｏにして考えます。
三角形ＡＢＣの頂点の座標の平均
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）／３
が三角形の重心です。
図のように、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝（０，０）となるように座標を定めます。
Ｂ（ｂ，ｄ）、
Ｃ（ｃ，ｅ）、
Ａ（－ｂ－ｃ，－ｄ－ｅ）と座標を定めれば
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝０になります。
ここで、ＢＣの中点Ｋを定めると、
Ｋの座標は、
Ｋ（（ｂ＋ｃ）／２，（ｄ＋ｅ）／２）＝－Ａ／２
になり、
ＯＫは０Ａに平行で長さが２分の１
の関係があることがわかります。
すなわち、ＡＫは重心Ｏ点を通ることがわかり、
線分ＡＫが点Ｏで２：１に分割されることもわかります。
同様な証明のしかたで、三角錐の重心の性質もわかります。
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「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
三角形の重心の性質の証明は教科書に書いてある通りですが、それを習った上で、
三角形の重心の性質をより速く思いだせるようになるために、
以下の証明方法もおぼえておいてください。
三角形の重心の性質の簡単な証明方法はここをクリック
次に、三角形の重心にかかわる大切な性質を証明する以下の問題を解きます。
【問８】△ＡＢＣの重心をＯとすると、△ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡの面積はすべて等しいことを示しなさい。
下の図のように、三角形の各辺の中点と三角形の頂点とを結んだ図を書きます。
重心の性質から、線分ＯＫは線分ＡＫの長さの３分の１ですから、
△ＯＢＣの高さは△ＡＢＣの高さの３分の１です。
△ＯＢＣ＝△ＡＢＣ／３
同様に、
△ＯＡＢ＝△ＡＢＣ／３
△ＯＣＡ＝△ＡＢＣ／３
そのため、
△ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡの面積はすべて等しく、△ＡＢＣ／３になります。
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【問】三角形の３辺の長さがａ，ｂ，√（ａ２＋ａｂ＋ｂ２）であるとき、最大角の大きさを求めなさい。
【解答開始】
ここで、ａ，ｂ以外の辺が√（ａ２＋ｂ２）なら角θは９０度ですが、その辺がそれより大きいことから、角θは９０度以上ということがわかります。
三角形の内角の和は１８０度ですから、１つの角度が９０度より大きければ、それ以外の角度はすべて９０度以下です。
そのため、９０度より大きい角θがこの三角形の最大角になります。
（余弦定理を思い出す）
（これが余弦定理）
この余弦定理を使います。
上の図のように辺ａと辺ｂの間の頂点をＣとする三角形を書きます。
そして、余弦定理でｃｏｓ（∠Ｃ）＝ｃｏｓ（θ）を求めます。
そのｃｏｓ（θ）の値が－１／２になったので、
角θは１２０°です。
（解答おわり）
【別解】
三角形の辺の二乗の引き算の公式により：
（解答おわり）
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上図のように、ＡＥに平行な補助線ＱＣを引くと
ｃ：ｂ＝ｍ：ｎ
となることがわかります。
下図の様に、ＡＥを水平線と考えると、水平線に対してＡＢが成す角とＡＣが成す角が等しい。
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上図のように、ＡＤに平行な補助線ＰＣを引くと
ｃ：ｂ＝ｍ：ｎ
となることがわかります。
（つぶれた三角形１）点Ａが直線BC上で、辺ＢＣ内（点BとCは含まない）にある場合は、つぶれた三角形である。その場合、∠ＢＡＣは１８０°になる。その∠ＢＡＣを２等分する直線ADは辺BCに垂直になる。その場合は、Ａ＝Ｄになる。A=Dの場合は、ｃ＝ｍ、ｂ＝ｎになる。しかし、A=Dの場合は、線分ＡＤが１点になってしまうので、線分ＡＤの方向を定める事ができず、∠ＢＡＣが２等分されているとは言えない。
（つぶれた三角形２）点Ａが、直線BC上で、辺ＢＣの外にある場合（点BとCは含まない）は、つぶれた三角形である。その場合は、∠ＢＡＣは０°になる。その∠BACを二等分する直線ＡＤは直線ＢＣと平行になる。その場合は、Ｄの辺BC上の位置は定まらない。その場合は、c:b＝m:nという関係は無い。
（つぶれた三角形３）点Aが点B又は点Cと一致する場合は、点Aとそれが一致する点を結ぶ線分AB又は線分ACが１点になってしまうので、その線分の方向を定めることができず、∠BACは９０°であるとも言えず（∠BAC＝０°もあり得る）、∠BACの大きさが定まらない。そのため、∠BACを二等分する直線ADの点Dの辺BC上の位置も定まらない。
そういうわけで、つぶれた三角形の場合には、∠Aを二等分する線分ADに関して、ｃ：ｂ＝ｍ：ｎの関係があるとは言えない。
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【問】次の図において、辺の長さx,yを求めなさい。（３）ＡＤ//ＥＦ//ＢＣ
平行線間の線分の長さの比が同じ。
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上の図のように、三角錐の重心を３次元座標の原点Ｏにして考えます。
