円順列とじゅず順列の数を求めます。
【問５】
（１）玉×１個と●２個と○３個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
（１）先ず、円順列の数を求めます。
この問題では、玉×が１個のみです。
このように、ある形の玉が１個のみの問題の考えかたは、以下のようにします。
つまり、その１個のみの玉×を円の最上部に固定して考えます。
円順列の数は、残りの●２個と○３個を並べる組み合わせの数になります。
●の位置を定めると残りの○の位置が自動的に決まりますので、●の配置の数だけを求めれば、
円順列の数が求められます。
その配置の数は、
５Ｃ２＝５×４／２＝１０通り
あります。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数＝１０
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心と×を通る線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるか（配置が線対称では無いか）どうかを調べます。
（第１のタイプ：線対称な配置）
下の２つの形の場合は、×と円の中心を通る線で円順列の配置を裏返してできる配置の形が、元の配置と同じ形になる、線対称な形の配置です。この配置では、じゅず順列の配置の数が円順列の配置の数と同じです。
この（第１のタイプの配置の）円順列の配置の数は２つしかありません。
（第２のタイプ：線対称では無い配置）
第２のタイプの配置は、線対称では無く、裏返してできる配置の形が、元の配置と同じ形にならない。
その配置は、元の形と、それを裏返した形が別の配置として２個に数えられています。
そのため、第２のタイプの配置の、じゅず順列の数は、
第２のタイプのじゅず順列の配置の数＝
＝第２のタイプの円順列の配置の数／２
＝（全ての円順列の配置の数－第１のタイプの配置の数）／２
＝（５Ｃ２－２）／２＝（１０－２）／２＝４
一方、第１のタイプのじゅず順列の配置の数＝２
です。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝４＋２＝６
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
円順列とじゅず順列の数を求めます。
【問４】
（１）×１個と●１個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
（１）先ず、円順列の数を求めます。
この問題では、玉×が１個のみです。
このように、ある形の玉が１個のみの問題の考えかたは、以下のようにします。
つまり、その１個のみの玉×を円の最上部に固定して考えます。
円順列の数は、残りの●１個と○４個を並べる組み合わせの数になります。
●の位置を定めると残りの○の位置が自動的に決まりますので、●の配置の数だけを求めれば、
円順列の数が求められます。
その配置の数は、
５Ｃ１＝５通り
あります。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数＝５
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心と玉×とを通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるか（配置が線対称では無いか）どうかを調べます。
（第１のタイプ：線対称な配置）
下の形の場合は、×と円の中心を通る線で円順列の配置を裏返してできる配置の形が、元の配置と同じ形になります。
この（第１のタイプの）円順列の数は、じゅず順列の数と同じです。
この第１のタイプのじゅず順列の数は１つしかありません。
（第２のタイプ：線対称では無い配置）
第２のタイプ（線対称な配置）を裏返し線で裏返してできる（円順列の）配置の形は、元の配置を回転して作る全ての配置と異なる形の配置になります。
つまり、第２のタイプの配置では、円順列の配置の数がじゅず順列の配置の数の２倍あります。
そのため、第２のタイプのじゅず順列の配置の数は、そのタイプの円順列の配置の数を２で割り算することで計算でき、
第１のタイプ以外のじゅず順列の数
＝（全部の円順列の数－第１のタイプの円順列の数）／２
＝（５Ｃ１－１）／２＝（５－１）／２＝２
一方、第１のタイプのじゅず順列の数＝１
であるため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝２＋１＝３
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
円順列とじゅず順列の数を求めます。
【問３】
（１）●３個と〇３個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、●同士を区別せず、〇同士を区別しないものとする。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
【問３】（１）の解答
先ず、円順列の数を求めます。
〔解１〕
玉●と○を並べる席が３＋３＝６箇所あります。
６つの席を固定した場合の、玉●３つを並べる組み合わせの数は、
６Ｃ３＝６×５×４／（３×２）＝２０通り
あります。
席への玉●と○の１つの配置を回転させると、席を固定した場合は異なる配置になります。
そのため、席を固定した場合の配置の数は、元の配置が回転した数がだぶって数えられています。
（第１のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置）
上図の形の配置の場合に、１回転すると元の形に戻る。これが第１のタイプの配置です。
この配置（元の配置）を１／６回転する毎に（席を固定した配置では）異なる配置になり、６つの配置ができる。
第１のタイプの配置において、固定した席での配置の数を６で割り算した数が、回転しても重ならない元の配置の数になる。
（第２のタイプ：１／３回転すると元の形に戻る配置）
上図の形の配置の場合、１／３回転すると元の形に戻る。これが第１のタイプの配置です。この配置を１／６回転すると、２つの配置ができる。第２のタイプの配置において、固定した席での配置の数を２で割り算した数が、回転しても重ならない元の配置の数になる。この第２のタイプの配置の円順列の数は上図に示した１つのみです。
一方、玉●と玉○が３つずつの円順列の配置では、
２分の１回転で元の形と同じ形になるものは無い。
（第１のタイプの配置の数）
第２のタイプの配置以外が第１のタイプの配置なので、（席を固定した場合の）第１のタイプの配置の数は、
（席を固定した場合の）第１のタイプの配置の数
＝（全部の配置の数）－（第２のタイプの配置の数）
＝６Ｃ３－（１×２）＝２０－２＝１８
です。
（第１のタイプの配置の円順列の数）
（席を固定した場合の）第１のタイプの配置の数を６で割り算することで、第１のタイプの配置の円順列の数が得られます。
第１のタイプの配置の円順列の数＝１８／６＝３
（全部の円順列の数）
一方、第２のタイプの配置の円順列の数は１個でした。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数＝３＋１＝４
個ある。
（解１おわり）
〔解２〕
以下のように考えて解くことができます。
第２のタイプの配置の数から先に求めます。
（第２のタイプ：(1/3)回転すると元の形に戻る配置）
１／３回転すると元の形に戻る第２のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から(1/3)回転した位置にもあり、(2/3)回転した位置にもあるように繰り返して存在し、結局、黒玉●が三角形状に３個ある配置パターンになる。第２のタイプの配置パターンは、そのように、各色の玉が三角形状の形にある配置パターンである。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／３の、２個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第２のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の円の１／３の部分の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、２Ｃ１個＝２個ある。
第２のタイプの配置パターンは、１／６回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／３回転するまでに、0回転、(1/6)回転した場合の２つの異なる配置が作られる。
席を固定しない場合の、第２のタイプの配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数（２Ｃ１）の２分の１になる。その数は：
（２Ｃ１）／２＝１
個ある。
（１回転すると元の形に戻る（全部の）配置）
１回転して元の形になる全ての配置パターンには、第２のタイプの配置が含まれる。 全配置パターンの、席が固定された場合の配置の数は、６Ｃ３＝２０個ある。
この数から、第２のタイプの配置パターンの数を引き算することで、１回転して初めて元の形に戻る第１のタイプの、（席を固定した場合の）配置の数を求める。その数は：
６Ｃ３－２Ｃ１＝１８
個ある。
この、引き算した結果である、第１のタイプの配置パターンは、１／６回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１回転するまでに、0回転、(1/6)回転、(2/6)回転、(3/6)回転、(4/6)回転、(5/6)回転した場合の６つの異なる配置が作られる。
席を固定しない場合の、この第１の配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数（６Ｃ３－２Ｃ１）の６分の１になる。その数は：
（６Ｃ３－２Ｃ１）／６＝３
個ある。
（全部の円順列の数）
以上の合計の、席を固定しない場合の、全部の円順列の配置パターンの数は：
１＋３＝４
個ある。
（解２おわり）
【問３】（２）の解答
次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線に関してその円順列の配置を対称な形に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。すなわち、その配置が線対称では無いか、線対称であるかを調べます。
（第３のタイプ：線対称で無い配置）
下の形の配置の場合は、配置を裏返してできる形が、元の配置を回転することではできない形になります。
円配列では、この形と、これを裏返した形が別の配置として２個と数えられています。
（第４のタイプ：線対称な配置）
それ以外の形の配置は、裏返した形が、元の配置を回転しても作れます。
すなわち、３つの●の配置の中点と円の中心を通る裏返し線で裏返した形は、裏返す前の配置と重なる同じ形になります。
これを第４のタイプの配置と呼びます。
このような対称な形の配置は以下の２つのみです。
第４のタイプの配置（線対称な配置）はじゅず順列でも円順列でも同じ２個の数と数えられています。
第３のタイプのじゅず順列の配置は円順列では２倍に数えられています。
そのため、第３のタイプのじゅず順列の数は、
第３のタイプのじゅず順列の数＝
｛円順列の総数－（第４のタイプのじゅず順列の数）｝／２
＝（４－２）／２＝１
一方、第４のタイプのじゅず順列の数は２個です。
そのため、じゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝１＋２＝３
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
円順列とじゅず順列の数を求めます。
【問２】
（１）玉●２個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
（１）先ず、円順列の数を求めます。
【（１）の第１の解】
黒玉●と白玉○を並べる席が２＋４＝６箇所あります。
６つの席が固定されているならば、●２つを並べる組み合わせの数は、
６Ｃ２＝６×５／２＝１５通り
あります。
席への●と○の１つの配置は回転させると、固定した席に対しては異なる配置になりますが、回転させると元の配置に戻るので、円順列では同じ配置が重複して数えられているとみなせます。
（第１のタイプ：1/2回転して元に戻るタイプの配置）＝周期３のタイプ： ２つの黒玉●の配置の形が、半回転だけで元の形と同じ配置の形になるものがあります。
それは下図のような黒玉●の配置の場合です。
この形は、固定席に対して回転すると３倍の配置パターンができる（周期が３である）ので、その円順列の配置の数は、そのタイプの、固定した席への配置の数を周期の３で割り算して数えます。
（１）すなわち、この周期３のタイプの、固定した席への配置の数は、玉の数を半分にした白玉〇２つと黒玉●１つの配置を数え、
３Ｃ１＝３，
です。
（２）そして、固定した席への配置の数を周期の３で割り算した数
３／３＝１，
が、上図の１個の配置パターンの、第１のタイプの（周期３の）席を固定しない円順列の数です。
（第２のタイプ：１回転して初めて元に戻るタイプの配置）＝周期６のタイプ：
先に固定した席の組み合わせを計算して得た１５通りの組み合わせのうち、上図のように、元の配置の形から１／６回転ずつで新しい配置が作られ、１回転して初めて元に戻る配置は、元の配置の６倍に重複して数えられている。その種類の円順列の配置の数は、その種類の配置の数を６で割り算して数えます。
それは上図のような配置の場合や、下図のような配置の場合です。
（第２のタイプの配置の固定席での配置数）
第２のタイプの配置は、１回転（３６０°の回転）しないと元の形と同じにはなりません。
（固定席での）第２のタイプの円順列が回転してできる（固定席の）配置の数は、（全配置の数）－（第１のタイプの配置の数）なので、
（固定席での）第２のタイプの配置の数
＝（固定席での全配置数）－（固定席での第１のタイプの配置の数）
＝（固定席での全配置数）－（第１のタイプの円順列の数×３）
＝６Ｃ２－（１×３）＝１５－３＝１２
です。
（第２のタイプの配置の円順列の数）
その数を６で割り算することで、第２のタイプの配置の円順列の数が得られます。
第２のタイプの配置の円順列の数＝１２／６＝２
（全部の円順列の数）
一方、第１のタイプの配置の円順列の数は１個でした。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数＝２＋１＝３
である。
（第１の解おわり）
【（１）の第２の解】
（第１のタイプ）固定した席に配置したパターンを３分の１回転して元の形と同じ形にもどるパターン：
そのパターンの数は０個。
（第２のタイプ）固定した席に配置したパターンを２分の１回転して元の形と同じ形にもどるパターン：（周期３のもの）
そのパターンの数は１個。
このパターンの玉の１個の配置のパターンは、固定した席に玉を配置した場合は、以下の数のパターンと数えられる。固定した席に玉を置いた場合には、この玉の配置を回転したパターンを異なるパターンとして数え、0回転、(1/6)回転、(2/6)回転、との３つの異なる配置として数える。
（第３のタイプ）固定した席に配置したパターンを１回転して元の形と同じ形にもどるパターン：
このパターンの玉の配置は、全部の配置の場合であって、その配置パターンには、２分の１回転して元の形と同じ形にもどるパターンの配置を含む。
この全パターンの玉の配置は、固定した席に玉を配置する配置の数では６Ｃ２個ある。
この数から、２分の１回転して元の形と同じ形にもどるパターンによる配置の数を引き算して、１回転しないと元と同じ形にはならないパターンの、固定した席に対する配置の数を求めると：
６Ｃ２－３
個の配置の数がある。
この（引き算した結果の）固定した席に対する配置の数は、以下のような、固定した席への配置の区別をしない配置パターンの数（円順列の数）との間の以下の関係がある。すなわち、先ず、席に対して玉を回転させると重なるパターンの玉の配置のパターンを同じ配置（同じ円順列）とみなす。その１つの円順列を、固定した席への配置の区別をしない１つの配置のパターンであるものとする。その１つの配置パターン（１つの円順列）が、固定した席への玉の配置を0回転、(1/6)回転、(2/6)回転、(3/6)回転、(4/6)回転、(5/6)回転、した場合に（固定した席に対しては）６つの異なる配置になる。そのように固定した席への配置の数は、固定した席への配置の区別をしない配置のパターンの数の６倍ある。
そのため、固定した席への配置の区別をしない配置のパターンの数であって、固定した席に対しては１回転しないと元の形には元らない配置のパターンの数は：
（６Ｃ２－３）÷６＝
＝（１５－３）÷６
＝２，
（全部の円順列の数）
以上の全パターンの固定した席への配置の区別をしない場合の円順列の数の総和は：
１＋２＝３
である。
（第２の解おわり）
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円を半分に分ける線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。
この問題の場合は、どの円順列の配置の円を裏返しても、新しくできる配置も、
裏返す元の配置を回転したのと同じ配置ができます。
ここで円の中心を通る裏返し線を円の中心のまわりに回転させると、
おりかえしてできる配置が円の中心のまわりに回転します。
裏返し線を、２つの●の間を通る位置に設定すれば、
その裏返し線で裏返した配置が、もとの配置と同じ配置になります。すなわち、どの配置も線対称な配置です。
そのため、じゅず順列の数より円順列の数が多くなるということはありません。
ゆえに、じゅず順列の数は、円順列の数と同じ、３組です。
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
円順列とじゅず順列の数を求めます。
【問１】
（１）●２個と○３個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
《解答方針》
この問題は、上図のような黒玉１と黒玉２の並びが異なる配置を区別しない問題です。同じ色の玉の間では、１つ１つが異なる玉の個性のバラエティを無くして考えます。このように玉の個性のバラエティを無くして計算する問題の場合は、「組合せ」を使って計算します。
【解答】
（１）先ず、円順列の数を求めます。
円順列の問題とは、円に配置した玉の配置を、円の中心の周りに回転させる操作をしたら重なる配置を同じ配置とみなして配置の数を数える問題です。
上図では、玉●と○を並べる席が２＋３＝５箇所あります。
５つの席が固定されているならば、●玉２つを並べる組み合わせの数は、
５Ｃ２＝５×４／２＝１０通り
あります。
上図の固定した席への●と○の配置は１回転させると元の形の配置に戻ります。また、１／５回転させる毎に異なる配置になり、１回転させるまでに５つの異なる配置になります。
固定した席への配置の数は、席を固定しない円順列の配置の数の５倍あります。
そのため、固定した席での全配置の数の１０通りの配置の数を５で割り算した答えが円順列の数です。
円順列の数＝１０／５＝２
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の問題とは、円に配置した玉の配置を、ある中心線に対して線対称な形に変換する（裏返す）操作と、円の中心の周りに回転させる操作によって重なる配置同士を同じ配置とみなして配置の数を数える問題です。
また、中心線に対して線対称な形に変換する（裏返す）操作は、その他の任意の中心線に対して線対称な形に変換する操作と、円の中心の周りに回転させる操作を合わせた操作と同じです。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線に関して、元の配置を対称な形に裏返して（線対称な形に変換して）、円の中心の周りに回転させた配置が、円順列においては元の配置とは異なる配置であるかどうかを調べます。それは、その配置の形が円の中心を通るどの直線に対しても線対称では無いか、あるいは、ある直線に関して線対称であるどうかを調べる事と同じです。
上図の問題の場合は、どの円順列の配置の形も、
円の中心を通る裏返し線の位置を、２つの●玉の中間を通る位置に設定すれば、
その裏返し線に関して配置の形が線対称です。そのため、任意の裏返し線においても、その線を中心にして配置を対称な形に変換する操作と、円の中心の周りに回転させる操作を合わせた操作では、元の配置と同じ形の配置になります。
そのように、じゅず順列の配置を裏返し線に関して線対称な形に変換する裏返し操作をしても､
その配置が元の円順列の配置の形と同じになるので，じゅず順列の配置の数は、円順列の配置の数と同じ、２組です。
場合の数と確率
リンク：高校数学の目次
佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】点Ｐ（ａ，ｂ）と点Ｑ（Ｘ，Ｙ）の間に、次の関係があるものとする。
Ｘ＝ｋａ／（ａ２＋ｂ２） （式１）
Ｙ＝ｋｂ／（ａ２＋ｂ２） （式２）
（ｋは０でない定数）
点Ｐ（ａ，ｂ）が直線１２ｘ－５ｙ＋１＝０上を動くとき、点Ｑ（Ｘ，Ｙ）はどんな図形を描くか。
ここで、直線の式に点Ｐ（ａ，ｂ）の座標を代入した式３を書いておく。
１２ａ－５ｂ＋１＝０ （式３）
（解き方の方針）
この問題は、式３の直線上の点Ｐと原点を結ぶ半直線上の点Ｑに関して、ＯＰ・ＯＱ＝ｋとなる場合のＱ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を、Ｘのみをパラメータａ又はｂであらわす式と、Ｙのみをパラメータａ又はｂであらわす式とを求めた後に、
それらの式からＸとＹの関係式を考える問題です。
以下では、そのような場合に、素早く問題を解く計算技術を示す。
（解答）
式１と式２のような式のグループからパラメータａ又はｂを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式１と式２が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式１の分子と式２の分子を足し算して式１及び２の分母ができるか、あるいは分子からパラメータａ又はｂを消せないかを考える。
（３）単なる足し算で式１及び式２の分母ができない場合は、次に、式１の分子の二乗と式２の分子の二乗を足し算して式１及び２の分母ができるかを考える。
この問題の場合、式１の分子の二乗と式２の分子の二乗を足し算して式１及び２の分母ができることがわかるので、式１の二乗と式２の二乗を足し算する。
Ｘ２＋Ｙ２＝ｋ２｛ａ２＋ｂ２｝／（ａ２＋ｂ２）２
Ｘ２＋Ｙ２＝ｋ２／（ａ２＋ｂ２） （式４）
この式４により、分子にはパラメータａもｂも含まれず定数のみであらわせた式が得られた。
この式４と、式１と式２を使って、分母が同じで、分子が式３であらわされる式を作る。
その式は、分子が式３を満足するので、値が０である。
１２（Ｘ／ｋ）－５（Ｙ／ｋ）＋（Ｘ２＋Ｙ２）／ｋ２＝０
１２ｋＸ－５ｋＹ＋（Ｘ２＋Ｙ２）＝０ （式５）
（計算技術についての考察）
ここまでの計算で、ｂは式３により、ａであらわせる式であるが、分母が共通な式を利用して、分子だけで式３を満足する式を作った。この計算により、分母のｂをａであらわす計算をせずに、分母を含めて、パラメータであらわされた項をまとめて消去することに成功した。このようにすることで、分母を計算する手間が省けた。
なお、ここで（０，０）を式５に代入すれば左辺が０になるので、点（０，０）は式５の円を通る。このことに注目して、おぼえておく。
次に、式５を変形する。
（Ｘ＋６ｋ）２＋（Ｙ－（５ｋ／２））２＝（６ｋ）２＋（５ｋ／２）２
（Ｘ＋６ｋ）２＋（Ｙ－（５ｋ／２））２＝（１３ｋ／２）２
この式は中心が（－６ｋ，（５ｋ／２））にあり、（０，０）を通り、半径が（１３ｋ／２）の円である。
この円と直線の関係をあらわす図を下の図のように書ける。
この図で、直線上の点Ｐ（ａ，ｂ）が左右方向に無限遠方に遠ざかれば、Ｑ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）に近づくが、Ｑ（Ｘ，Ｙ）は決して（０，０）には到達しない。
この図を書くことにより、そのことが明確にわかる。
高校数学の目次
