第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その３／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。
（３）この正四面体に内接する球の半径ｒを求めなさい。
教科書の解き方が一番良いと思いますが、それとは異なる解き方をしてみます。
正四面体に内接する球の中心は４つの面それぞれから半径ｒの距離の位置にあります。
それで、Ｏを頂点として１つの面を底面（面積Ｓ）とする三角錐が正四面体の４面の数だけできます。その４つの三角錐の形は合同です。その三角錐の高さはｒになります。
そのため、
その三角錐の体積×正四面体の面の数＝正四面体の体積（Ｖ）になり、
三角錐の体積に関して以下の関係が成り立ちます。
Ｓ・ｒ／３＝Ｖ／４＝（Ｓ・（正四面体の高さ）／３）／４
この式を変形します。
ｒ＝（正四面体の高さ）／４
＝（（√６）／３）ａ／４
＝（（√６）／１２）ａ
（参考）正四面体の重心位置は高さの４分の１
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第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その２／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。
（２）この正四面体に外接する球の半径Ｒを求めなさい。
図に球の中心Ｏを書き加えます。
正四面体の重心は、正四面体の高さの４分の１の位置にあります。
正四面体はどの面を底面としても、その高さが同じ図形です。
そのため、正四面体の重心から正四面体の頂点までの長さは、頂点がＡＢＣＤのどの点であっても同じ長さです。
そのため、重心を中心にする球は正四面体の頂点ＡＢＣＤ全てに接します。
よって、重心を中心とする球は正四面体に外接します。
ゆえに、正四面体に外接する球の半径Ｒの長さは、正四面体の重心から頂点までの長さであり、
それは、正四面体の高さの３／４です。
そして、正四面体の高さは、（√６／３）ａです。
∴Ｒ＝（３／４）×（√６／３）ａ
＝（√６／４）ａ
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第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その１／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。
（１）この正四面体の表面積Ｓと体積Ｖを求めなさい。
この問題を解くためには、下図のように正四面体を書いて、わかる角度と長さをことごとく、（記号と数式で）図に書き込みます。すると答えが見えてきます。
図の②で〇印で書いた線分ＥＧの長さのＥＤに対する３分の１の比は、以下のようにしてわかります。
頂点Ａから底面ＢＣＤに下ろした垂線の足をＧとすると、Ｇを頂点とする３つの三角形、△ＧＢＣと△ＧＣＤと△ＧＤＢは合同になります。
そのため、Ｇを頂点とする△ＧＢＣの面積は、底面ＢＣＤの面積の１／３です。
（三角形ＢＣＤが正三角形で無くても、Ｇが重心ならば、△ＧＢＣの面積は、三角形ＢＣＤの面積の１／３です。）
その面積の比から、△ＧＢＣの高さＧＥは、底面ＤＢＣの高さＤＥの１／３になります。
∴〇印で書いた線分の長さの比が１／３になることがわかりました。
図の③に計算式を記述した正四面体の高さを計算しておきます。
この式の（計算用紙での）計算は、計算のリズムを乱す（自分にとって）難しい変形はしないで、少しづつ式を変形していきます。
図から、正四面体の１つの面（三角形）の面積Ｓ／４は、
∴表面積Ｓ＝（√３）ａ２
体積Ｖ＝底面積×高さ／３
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三角錐の体積の公式
三角錐の重心（四面体の重心）
正四面体に外接する球の半径Ｒ
正四面体に内接する球の半径ｒ
正四面体の面が交差する角度
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【問】三角形の外接円の半径Rを三角形の３辺からもとめる。
この問題は、三角形の外接円の半径が、正弦定理で三角形の１つの角度と関係していることと、
三角形の１つの角度が、余弦定理で三角形の３辺に関係していること
を使えば解けます。
先ず、正弦定理を思い出します。
この正弦定理から、
が得られます。
次に、三角形の辺の二乗の引き算の公式から余弦定理を導き出して思い出します。
この余弦定理から、
が得られます。ｓｉｎＡ２＋ｃｏｓＡ２＝１ （３）
の関係に、この２つの式を代入します。
その代入の準備として、式３を少し変形します。
ｓｉｎＡ２＋ｃｏｓＡ２＝１ （３）
これに、式１と式２を代入します。
この式を（１／Ｒ）だけを左辺にした式に変形します。
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
よって、
この式の計算に誤りが無いかどうかを、計算し易い場合として以下の図を考えて確認します。
この例では答えが合っているので、計算結果に間違いは無さそうです。
（補足）
このRの式は、因数分解の途中の以下の形の式が使い易いと考えます。
（ただし、辺の長さａとｂとｃを入れ替えた式も同じ値になる。）
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三角形の面積を三辺から求める公式を導く
以下の図のように２辺とその侠角のｓｉｎ（θ）がわかれば、
三角形の面積Ｓがわかります。
Ｓ＝（ｂｃ・ｓｉｎＡ）／２ （式１）
です。
ｓｉｎＡ＝√（１－ｃｏｓ２Ａ） （式２）
を利用してＳをｃｏｓＡであらわせます。
以下の様にして、三角形の辺の二乗の引き算の公式から余弦定理を導き出して思い出します。
ｃｏｓＡ＝（ｂ２＋ｃ２－ａ２）／（２ｂｃ） （式３）
この式３の余弦定理を利用して、ｃｏｓＡをａ，ｂ，ｃのみであらわせます。
そのため、三角形の面積Ｓはａ，ｂ，ｃのみであらわせます。
以下で、式１を２乗した式を簡単にします。
式２を代入する。
式３を代入する。
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
よって、Ｓ＝（１／２）２
・√｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝
この式はヘロンの公式と呼ばれています。
（補足）
このヘロンの公式を展開した式であらわすと、
(４Ｓ)２＝－ａ４－ｂ４－ｃ４＋２{(ａｂ)２＋(ｂｃ)２＋(ｃａ)２}
となります。
【別解】
この問題を以下の式の連立方程式として解きます。
Ｓ＝（ｂｃ・ｓｉｎＡ）／２ （式１）
ｃｏｓＡ＝（ｂ２＋ｃ２－ａ２）／（２ｂｃ） （式３：余弦定理）
この連立方程式から角度Ａを消去するには、
ｓｉｎ２Ａ＋ｃｏｓ２Ａ＝１
に式１のｓｉｎＡと式３のｃｏｓＡを代入します。
ｓｉｎ２Ａ＋ｃｏｓ２Ａ＝１
（２Ｓ／（ｂｃ））２＋｛（ｂ２＋ｃ２－ａ２）／（２ｂｃ）｝２＝１
このように角度Ａが消去された。
両辺に（２ｂｃ）２を掛け算する。
４（２Ｓ）２＋（ｂ２＋ｃ２－ａ２）２＝（２ｂｃ）２
Ｓの項だけを左辺に出した式に変形する。
４（２Ｓ）２＝－（ｂ２＋ｃ２－ａ２）２＋（２ｂｃ）２
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝｛－（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＋（２ｂｃ）｝
｛（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＋（２ｂｃ）｝
＝｛－ｂ２－ｃ２＋ａ２＋（２ｂｃ）｝
｛ｂ２＋ｃ２－ａ２＋（２ｂｃ）｝
＝｛－（ｂ－ｃ）２＋ａ２｝
｛（ｂ＋ｃ）２－ａ２｝
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝｛（－（ｂ－ｃ）＋ａ）（（ｂ－ｃ）＋ａ）｝
｛（（ｂ＋ｃ）－ａ）（（ｂ＋ｃ）＋ａ）｝
＝（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）
よって、
２（２Ｓ）＝√｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝
Ｓ＝（１／４）√｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝
（補足）
三角形の面積は、三角関数を使うと
Ｓ＝（ｂｃ・ｓｉｎＡ）／２ （式１）
という簡単な式で表せましたが、
三角形の３辺を使って表すと複雑な式になりました。
このように、三角形の辺を使って何かを求める式を得ようとする場合、三角関数の計算により求めるのは不適切です。
なるべく早く三角関数を無くした式に変換し、その式を計算する事で解を得ようとするのが良いです。
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三角形の面積と外接円の半径
三角形の面積と内接円の半径
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
高校数学［三角比・平面図形］一覧
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教科書の解き方が一番良いと思いますが、それとは異なる解き方をしてみます。
