絶対に試験に出ない重複組合せの問題

重複組合せの本サイトの解き方を応用して難問を作ってみました。
多分、この問題は絶対に試験には出ないと思いますので、興味のある人だけ読んでください。
【問５】
１，２，３の３つの数字の中から、以下の例外規則以外では同じ数字を複数選べる。例外規則とは、選ぶ数字のうち一番大きい数字は１つしか選ばない。その規則の下で、
数字を３つ選んで作る数字の組合せの数は何個あるか。

この問題の組合せ例をいくつか書くと、
選らんだ数字を左から小さい順に整列して書くと、
（１，１，２）
（１，２，３）
・・・
と順次に書けます。
ただし、問題の条件により、
（２，３，３）はダメです。
（１，２，２）もダメです。
（１，１，１）もダメです。
この整列した組合せの数を求める問題です。

この問題は、その解の組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。

その組合せは、以下の、
数字を直接に指定する３つの指令と、
数字を間接的に指定する１つの指令
とから成る合計４つの指令のうちから３つを選ぶ組合せと１対１対応します。

１選択指令：数字１を選ぶ。
２選択指令：数字２を選ぶ。
３選択指令：数字３を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。

上の指令から３つを選ぶ。
（１選択指令、２選択指令、３選択指令）から選ばれた数字選択指令を数字の小さい順に、順番が抜けている第ｎ指令の位置に配置する。

この指令の組合せは、例えば、
（１）１選択指令：数字１を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
（３）３選択指令：数字３を選ぶ。
です。
この指令の組合せの結果、
（１，１，３）の数字の組合せが選ばれます。

また、例えば、
（１）２選択指令：数字２を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
（３）３選択指令：数字３を選ぶ。
この指令の組合せの結果、
（２，２，３）の数字の組合せが選ばれます。

大事なポイントは、この指令の組み合わせが、
「３つの数字の中から以下の例外規則以外では同じ数字を複数選べる。例外規則とは、選ぶ数字のうち一番大きい数字は１つしか選ばない。その規則の下で、数字を３つ選んで作る数字の組合せ」に、
１対１に対応することである。

そのため、
（求める組合せの数）
＝（数字を直接選択する３つの指令と、その他の、数字を間接的に指定する指令１つとから成る合計４つの指令のうちから３つを選ぶ組合せの数）
＝_{（３＋１）}Ｃ_３
＝_{（３＋１）}Ｃ_１＝４

実際に全部の組合せを書き出してみると、
（１，１，２）
（１，１，３）
（１，２，３）
（２，２，３）
の４つの組合せのみです。

場合の数と確率
リンク：高校数学の目次

重複組合せ（４）

佐藤の数学教科書[個数の処理・確率編]の１３６頁に、 以下の例題がありました。
【問４】
１，２，３，４の４つの数字の中から同じ数字を何回も選ぶことを許して、
３つの数字を選ぶ。その数字の組合せの数は何個あるか。

【解答１】
この問題の組合せ例をいくつか書くと、
選んだ数字を左から小さい順に整列して書くと、
（１，１，２）
（２，２，２）
（１，２，４）
（２，３，４）
・・・
と順次に書けます。
この整列した組合せの数を求める問題です。

この問題は、その解の組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。

その組合せは、以下の、
数字を直接に指定する４つの指令と、
数字を間接的に指定する２つの指令
とから成る合計６つの指令のうちから３つを選ぶ組合せと１対１対応します。

１選択指令：数字１を選ぶ。
２選択指令：数字２を選ぶ。
３選択指令：数字３を選ぶ。
４選択指令：数字４を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
第３指令：整列表示した、３番目の数字を２番目の数字と同じ数字にする。

上の指令から３つを選ぶ。
（１選択指令、２選択指令、３選択指令、４選択指令）から選ばれた数字選択指令を数字の小さい順に、順番が抜けている第ｎ指令の位置に配置する。

この指令の組合せは、例えば、
（１）３選択指令：数字３を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
第３指令：整列表示した、３番目の数字を２番目の数字と同じ数字にする。
です。
この指令の組合せの結果、
（３，３，３）の数字の組合せが選ばれます。

また、例えば、
（１）２選択指令：数字２を選ぶ。
第２指令：整列表示した、２番目の数字を１番目の数字と同じ数字にする。
（３）４選択指令：数字４を選ぶ。
この指令の組合せの結果、
（２，２，４）の数字の組合せが選ばれます。

大事なポイントは、この指令の組み合わせが、
４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、１度に３つずつ数字を取って作る組合せに、
１対１に対応することである。
（１）この指令の組み合わせが、１度に３つずつ数字を取って作る組合せを表す。
（２）逆に、１度に３つずつ数字を取って作る組合せは、必ず、これらの指令の３つの組み合わせによって表すことができる。

そのため、
（４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、１度に３つずつ数字を取って作る組合せの数）
＝（数字を直接選択する４つの指令と、その他の、数字を間接的に指定する指令２つとから成る合計６つの指令のうちから３つを選ぶ組合せの数）
＝_{（４＋２）}Ｃ<sub>３
（解答おわり）

【解答２】</sub>

上図のように数字１の行と２の行と３の行と４の行の４つの行を有し、横の長さが３の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、数字１の行から４の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。

上図で、
数字１の数＝（１の行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
数字２の数＝（２の行の、階段と階段の間の長さ）
数字３の数＝（３の行の、階段と階段の間の長さ）
数字４の数＝（４の行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、

Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
３個の数字を取る場合の、数字１を取った数と数字２を取った数と数字３を取った数ろ数字４を取った数の１つの組合せに
１対１で対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、
４つの数字の中から同じ数字を何回も取ることを許して、
１度に３つずつ取って作る組合せの数と等しい。
上図の経路は、
→↑→↑→↑
とあらわせる。

図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)３つと、(→)３つが作る全ての組み合わせの数と等しい。
その数は、
_{（３＋３）}Ｃ_３
＝（３＋３）！／（３！×３！）
＝６×５×４／（３×２）＝２０
になる。
これは、先の解答と同じ答えである。
（解答おわり）

場合の数と確率
リンク：高校数学の目次

重複組合せ（３） X+Y+Z=N問題と最短経路の数

【問３】
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７の負でない整数解は何個あるか。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

場合の数と確率
リンク：高校数学の目次

重複組合せ（２）

答えの正しさを確認しやすいように問題を簡単にしてみました。
【３種の玉から重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数】

上図のような３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数を求める。

【解答】
（①の玉の数，②の玉の数，③の玉の数）
の事象の連鎖を考える。
例えば、①の玉を１個、②の玉を１個、③の玉を０個取り出す事象の連鎖は、
（１，１，０）
である。
　このようにしてあらわした、３種の玉の数の組み合せを表す事象の連鎖と１対１に対応する以下の経路を考える。
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数は、その経路の数に等しい。

上図のように①の行と②の行と③の行との３つの行を有し、横の長さが２の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、①の行から③の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。

上図で、
玉①の数＝（①行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
玉②の数＝（②行の、階段と階段の間の長さ）
玉③の数＝（③行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、

Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
２個の玉を取る場合の、玉①を数と玉②を取った数と玉③を取った１つの組合せに
１対１で対応する。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、３種の玉から、重複を許して２個を選ぶ組み合わせの数と等しい。

上図の経路は、
→↑→↑
とあらわせる。

図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)２つと、(→)２つが作る全ての組み合わせの数と等しい。
その数は、
_{（２＋２）}Ｃ_２
＝（２＋２）！／（２！×２！）
＝４×３／２＝６
になる。
（解答おわり）

場合の数と確率
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重複組合せ（１）

【３種の玉から重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数】
【問１】

上図のような３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数を求めよ。


【解答】
（①の玉の数，②の玉の数，③の玉の数）
の事象の連鎖を考える。
例えば、①の玉を２個、②の玉を２個、③の玉を１個取り出す事象の連鎖は、
（２，２，１）
である。
　このようにしてあらわした、３種の玉の数の組み合せを表す事象の連鎖と１対１に対応する以下の経路を考える。
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数は、その経路の数に等しい。

上図のように①の行と②の行と③の行との３つの行を有し、横の長さが５の格子を考える。格子のＡ点からＢ点まで、①の行から③の行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。

上図で、
①の数＝（①行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
②の数＝（②行の、階段と階段の間の長さ）
③の数＝（③行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、

Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
５個の玉を取り、①を取った数と②を取った数と③を取った数の１つの組合せに
１対１で対応する。
その対応の特殊な例では、
①の数が５、②の数が０、③の数が０の組み合わせは、下の図の経路に対応する。

①の数が０、②の数が０、③の数が５の組み合わせは、下の図の経路に対応する。

そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、
３種の玉から、重複を許して５個を選ぶ組み合わせの数と等しい。

上図の経路は、
→→↑→→↑→
とあらわせる。
すなわち、経路は、(↑)２つと(→)５つの順列であらわされる。
（Ａ点からＢ点までの経路は、(↑)２つと(→)５つの順列と１対１対応する）

そのため、図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は、(↑)２つと、(→)５つが作る全ての順列の数と等しい。
その数は、
（２＋５）！／（２！×５！）
＝_{（２＋５）}Ｃ_２＝_{（２＋５）}Ｃ_５
になる。
（解答おわり）

場合の数と確率
リンク：高校数学の目次

円順列と数珠順列（１０）３種類の玉２＋２＋２個、バーンサイドの定理の利用

円順列とじゅず順列の数を求めます。

問９を少しやさしくした問１０を作りました。
以下でこの問題を解きます。

【問１０】
（１）玉×２個と●２個と○２個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。

（１）円順列の数は以下の様にして求めます。
玉×と●と○を並べる席が２＋２＋２＝６箇所あります。
６つの席が固定されている場合に、玉×２つと●２つと残りの玉２つを並べる配置の総数は、
６！／（２！×２！×２！）＝_６Ｐ_４／（２！×２！）
＝６×５×４×３／（２×２）＝９０通り
あります。

（第１のタイプの配置：１／２回転すると元の配置の形に重なる配置）＝周期３の配置パターン
　下の２つの円順列の配置では、１／２回転で元の配置の形と同じ形になる。これを第１のタイプの配置とします。


第１のタイプの配置では、１／６回転させる毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１／２回転するまでに、３つの異なる配置（周期が３）が作られる。
固定席での第１のタイプの配置の数を周期の３で割り算した結果が、第１のタイプの円順列の配置の数です。
　第１のタイプの円順列の数は、上図の２組だけです。
　これが２組になる計算は、以下の様に計算する。
この、１／２回転すると元の配置の形に重なる配置の玉のパターンは、下図のように、

全部の玉を半分にした、玉×１個と、玉●１個と、玉○１個との３個の玉による、１周期が３である第１の玉の群と、その第１の玉の群を１／２回転した位置の第２の玉の群から成る。
　１周期が３であるこの玉の群は、その（固定した３つの席への）玉の配置を上図のようにローテーションさせる毎に、異なる配置になり、席のローテーションにより（固定した３つの席に対して）３つの異なる配置（周期が３）が作られる。
　そのため、第１のタイプの（席を固定しないで考える）円順列の数は、以下の計算で求められる。
すなわち、
（固定した席への）配置の数＝３！を、周期の３で割り算した計算：
３！／３＝２
で、第１のタイプの円順列の数を求めることができる。

（第２のタイプの配置：１回転して初めて元の配置の形に重なる配置）＝周期６の配置パターン
　玉×と●と○の１つの円順列の配置を１回転すると元の配置の形に重なるが、１／６回転させる毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１回転するまでに、６つの異なる配置（周期が６）が作られる配置を、第２のタイプの配置とします。
固定席での第２のタイプの配置の数を周期の６で割り算した結果が、第２のタイプの円順列の配置の数です。

　第２のタイプの円順列の数は：
（第２のタイプの円順列の数）＝
＝｛固定席での配置の総数－（第１のタイプの円順列の配置の数×３）｝／６
＝｛９０－（２×３）｝／６＝１４
円順列の配置の総数は、この第２のタイプの配置の数に、第１のタイプの円順列の配置の数（２組）を加えた数であり、
１４＋２＝１６
組みです。

《バーンサイドの定理の利用》ここをクリックした先に説明がある。
（バーンサイドの定理の原理）
　６つの席に係わる１つの円順列について考える。
（１）回転に対する対称性の無い円順列は、６つの席への６つの角度回転変換（変換数Ｇ＝６）をすることで、（固定席に対して）異なるＧ＝６つの配置パターンに変わる。そのため、
（固定席に対して）全ての異なる配置パターンの数÷Ｇ＝（円順列の数）
という計算で円順列の数を数えることができる。
（２）回転に対してｍ回の対称性があって、６つの角度回転変換（変換数Ｇ＝６）において、（固定席に対する）配置パターンがｍ回繰り返して同じパターンになる円順列は、周期Ｔが、Ｇ／ｍである。その円順列は、（固定席に対して）異なる配置パターンがＧ個は無く、Ｔ＝Ｇ／ｍ個しか無い。
しかし、１回転する間にｍ回同じパターンを繰り返し、周期Ｔ＝Ｇ／ｍまで回転するだけで（１回転しないでも）同じパターンに戻る。そのため周期Ｔ分まで回転する変換においては、その変換によって配置パターンが元の配置パターンに戻る。そのように、その円順列の（固定席への）配置パターンが元のパターンに戻る変換の数は、Ｇ／Ｔ＝ｍ個ある。
そのｍ個の各回転変換では、その変換によって元のパターンに戻る（固定席に対する）配置パターンがＴ個現れる。
その各変換に係わって現れる、（元のパターンに戻る）配置パターンの数Ｔを、それが現れる変換でのＴの数を合計すると、
Ｔ×ｍ＝（Ｇ／ｍ）ｍ＝Ｇ
個になる。そのため、その数をＧで割り算することで、
Ｔ×ｍ／Ｇ＝１
となり、その円順列の数を数えることができる。
（３）結局、
どのような回転変換の対称性のある円順列の数も、
６つの角度回転変換（変換数Ｇ＝６）の１つ毎に、
その変換によって元のパターンに戻る（固定席に対する）配置パターンの数Ｔ個を数え上げて、
Ｇ＝６個の全ての変換毎に現れる元のパターンに戻る配置パターンの数Ｔ個を合計して、
その合計数を、変換の数Ｇで割り算することで円順列の数が求められる。
（４）それゆえ、
全ての円順列の数は、
６つの角度回転変換（変換数Ｇ＝６）の１つ毎に、
その変換によって元のパターンに戻る（固定席に対する）配置パターンの数Ｔ個を数え上げて、
Ｇ＝６個の全ての変換毎のその数Ｔを合計して、
その合計数を、変換の数Ｇで割り算することで全ての円順列の数が求められる。
（これが、バーンサイドの定理の原理である）

　以下では、このバーンサイドの定理の原理に従って、全ての円順列の数を数える。
（１）３種類の玉２＋２＋２個の（固定席への）配置のパターンは、
σ0＝０回転、
σ1＝１／６回転、
σ2＝２／６回転、
σ3＝３／６回転、
σ4＝４／６回転、
σ5＝５／６回転、
の変換によって、配置のパターンが変わり得る。
この回転操作の数Ｇ＝６個ある。
（２）このうち、
σ0＝０回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、６！／（２！×２！×２！）＝９０個。
σ1＝１／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
σ2＝２／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
σ3＝３／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
　この６個の配置パターンは、以下の、１／２回転で配置が重なる配置パターンである。

（この６個の配置パターンの中に、１／２回転で配置が重なる周期が３の配置の円順列が２つ含まれている）
σ4＝４／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
σ5＝５／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
（３）バーンサイドの定理によって、
３種類の玉２＋２＋２個の（席を固定しないで考える）円順列の数＝
（９０＋６）／Ｇ＝（９０＋６）／６＝１６個
である。
（解答おわり）

《補足》
　このバーンサイド定理で、σ3 に係わる６個の（固定席に対する）配置パターンは、周期が３の２つの円順列に分類できる。

　この円順列の数がバーンサイドの定理の式で計算できる理由は、以下のように式が変形できるからです。


《（２）じゅず順列の数》
　じゅず順列の数は以下の様にして求めます。
【じゅず順列の数の解答（その１）】数えあげ
　じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る所定の裏返し線でその円順列の配置を裏返す場合に、
裏返した結果が、裏返す前の円順列の配置に重なるかどうかを調べます。

（第３のタイプ：線対称な形の配置）
　下図の６個の円順列の配置は、図に書き加えた点線の裏返し線で裏返した結果が裏返す前の元の配置に重なる線対称な形の配置です。

この第３のタイプの円順列の配置の数は６個のみである。その数が、第３のタイプのじゅず順列の配置の数である。

（第４のタイプ：線対称では無い配置）
円順列の配置のうち、第３のタイプの配置以外の配置を第４のタイプの配置とする。
　第４のタイプの配置では、円順列では、元の配置と、裏返した後の配置とは異なるので、２倍の数の配置として数えられている。
すなわち、第４のタイプの配置では、円順列の配置の数が、じゅず順列の配置の数の２倍あり、
第４のタイプの配置のじゅず順列の配置の数は、円順列の配置の数を２で割り算した数である。
第４のタイプのじゅず順列の配置の数は：
（（円順列の配置の総数）ー（第３のタイプの円順列の配置の数））／２
＝（１６－６）／２＝５
あります。

一方、第３のタイプの円順列の配置の数＝じゅず順列の配置の数＝６個でした。
全部のじゅず順列の数は、
（じゅず順列の総数）＝
＝（第４のタイプのじゅず順列の配置の数）＋（第３のタイプのじゅず順列の配置の数）
＝５＋６＝１１
（解答おわり）




【じゅず順列の数の解答（その２）】バーンサイドの定理
《バーンサイドの定理の利用》ここをクリックした先に説明がある。
（１）３種類の玉２＋２＋２個の（固定したじゅずの位置への）配置のパターンに関して、じゅず順列には以下の１２個の変換がある。
σ0＝０回転、
σ1＝１／６回転、
σ2＝２／６回転、
σ3＝３／６回転、
σ4＝４／６回転、
σ5＝５／６回転、
β0＝反転＋０回転、
β1＝反転＋１／６回転、
β2＝反転＋２／６回転、
β3＝反転＋３／６回転、
β4＝反転＋４／６回転、
β5＝反転＋５／６回転、
によって、配置のパターンが変わり得る。
この回転＋反転操作の数Ｇ＝１２個ある。
（２）このうち、
σ0＝０回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、６！／（２！×２！×２！）＝９０個。
σ1＝１／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
σ2＝２／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
σ3＝３／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
σ4＝４／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
σ5＝５／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
β0＝反転＋０回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
（反転操作は、図での上下の線（Ｙ軸）を中心にして左右を入れかえる操作と定義する）
β1＝反転＋１／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
β2＝反転＋２／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
β3＝反転＋３／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
β4＝反転＋４／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
β5＝反転＋５／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。

　ここで、
σ3＝３／６回転、によってパターンが変わらない６個の配置パターンは下図の配置パターンである。

　この図で示した６つの配置パターンは、１つの配置パターンを、１／６回転づつ回転させて３個の配置パターンになり、更に、それを反転させて更に３個の配置パターンになり、結局６個の配置パターンになるので、（反転変換と回転変換の周期が６である）１個のじゅず順列の６個の配置パターンである。
　この１個のじゅず順列は、反転に対する対称性は無く、
回転に対しては、ｍ＝２回の対称性がある。そして、１２個の反転＋角度回転変換（変換数Ｇ＝１２）において、（固定席に対する）配置パターンが２回繰り返して同じパターンになるじゅず順列である。このじゅず順列の周期Ｔは、Ｇ／ｍ＝１２／２＝６である。そのじゅず順列は、（固定席に対して）異なる配置パターンがＧ＝１２個は無く、Ｔ＝Ｇ／ｍ＝６個しか無い。
しかし、１回転する間にｍ＝２回同じパターンを繰り返し、周期Ｔ＝Ｇ／ｍ＝６回の反転＋回転変換により同じパターンに戻る。そのように、そのじゅず順列の（固定席への）配置パターンが元のパターンに戻る変換の数は、Ｇ／Ｔ＝ｍ＝２個ある。
そのｍ＝２個の各反転＋回転変換毎に、その変換によって元のパターンに戻る（固定席に対する）配置パターンがＴ＝６個現れる。
その各変換に係わって現れる、（元のパターンに戻る）配置パターンの数Ｔ＝６を、それが現れる変換で現れる全てのＴの数を合計すると、
変換σ0＝０回転、では６個。
変換σ3＝３／６回転、では６個。
合計で、
Ｔ×ｍ＝（Ｇ／ｍ）ｍ＝Ｇ＝１２
個になる。
そのため、その数をＧで割り算することで、
Ｔ×ｍ／Ｇ＝１
となり、そのじゅず順列の数を１個と数えることができる。

β0＝反転＋０回転、によってパターンが変わらない（固定席に対する）６個の配置パターンは下図の、Ｙ軸に関して左右対称な配置パターンである。

（これは１つのバターンを回転させたパターンではない）
この変換β0 によってパターンが変わらない配置パターンの数は、以下のようにして求めることができる。
Ｙ軸上にある２個の玉の色を同じにし（その色の選定のバラエティが３）、そのバラエティの数に対して、Ｙ軸に対して左右対称なパターンの右側の玉の色の配置パターンのバラエティ２！を掛け算することで、変換β0 によってパターンが変わらない配置パターンの数３！＝６を数えることができる。
　また、左右反転する上下の線（Ｙ軸）と配置のパターンとの位置関係が違うと、
β0＝反転＋０回転、によってパターンが変わらない６個の配置パターンが、以下の６つの配置パターンになる。

反転の定義をしっかりしないといけない問題点がある。
（上図の反転変換は、以下で説明する変換β1である）
　また、この変換β0 と変換β1 との２つの変換を考えれば、１つの変換β0 の６個のパターンの２倍のパターンの１２個の配置パターンが抽出できる。その１２個には、反転対称性がある６つのじゅず順列が全て含まれている。（しかし、その１２個には、１つのじゅず順列を１／６ずつ回転した全ての配置パターンの一部しかない。）

β1＝反転＋１／６回転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプが（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。
　この図で示した１個のじゅず順列は、回転に対する対称性は無く、
反転に対しては、ｍ＝２回の反転対称性がある。
そして、１２個の反転＋角度回転変換（変換数Ｇ＝１２）において、（固定席に対する）配置パターンが２回繰り返して同じパターンになるじゅず順列である。このじゅず順列の周期Ｔは、Ｇ／ｍ＝１２／２＝６である。そのじゅず順列は、（固定席に対して）異なる配置パターンがＧ＝１２個は無く、Ｔ＝Ｇ／ｍ＝６個しか無い。
その６個の異なる配置パターンは１／６回転づづの６回の回転による配置パターンの変化である。
しかし、全ての反転＋回転変換において、ｍ＝２回同じパターンを繰り返す。そのように、そのじゅず順列の（固定席への）配置パターンが元のパターンに戻る変換の数は、Ｇ／Ｔ＝ｍ＝２個ある。
しかし、注意すべきことは、このじゅず順列の、（固定席に対して）異なる６個の配置パターンは、１つの反転＋回転変換によって一度に６個が現れたり、１度に２個づつだけ現れる場合もあることである。
各変換に係わって現れる、（元のパターンに戻る）配置パターンの数Ｔ＝６を、それが現れる変換で現れる全てのＴの数を合計すると、
変換σ0＝０回転、では６個。
変換β1＝反転＋１／６回転、では２個。
変換β3＝反転＋３／６回転、では２個。
変換β5＝反転＋５／６回転、では２個。
である。配置パターンの数Ｔ＝６は、変換β1と変換β3と変換β5とに分散して現れて、
その６個の配置パターンと同じ配置パターンが、変換σ0でも現れることで、
合計で、
Ｔ×ｍ＝（Ｇ／ｍ）ｍ＝Ｇ＝１２
個になる。
そのため、その数をＧで割り算することで、
Ｔ×ｍ／Ｇ＝１
となり、そのじゅず順列の数を１個と数えることができる。

β2＝反転＋２／６回転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプが（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。

β3＝反転＋３／６回転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプが（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。

β4＝反転＋４／６回転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプが（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。

β5＝反転＋５／６回転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプが（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。

　以上の、β0、β1、β2、β3、β4、β5、の変換によってパターンが変わらない配置パターンを抽出することで、反転対称性がある３６個の配置パターンが抽出された。その反転対称性がある３６個の配置パターンを、（回転変換の）周期が６の、６個のじゅず順列のグループに分類できる。
　ここで注意すべきことは、反転対称性のある１つのじゅず順列を回転変換した配置パターンが、β0、β1、β2、β3、β4、β5、の変換によってパターンが変わらない配置パターン群の中に分散して存在することである。
　例えば、
β2＝反転＋２／６回転、によって変わらないパターンを持つ下図のじゅず順列については：

このじゅず順列を回転した配置パターンは、
β2＝反転＋２／６回転、によって変わらないパターンが２つある。
β4＝反転＋４／６回転、によって変わらないパターンが２つある。
β0＝反転＋０回転、によって変わらないパターンが２つある。
それらの合計６個が同じ１つのじゅず順列をあらわす。

　すなわち、１つのじゅず順列を回転変換した６つ配置パターンが、β0、β1、β2、β3、β4、β5、の変換に係わる、各変換によってパターンが変わらない配置パターンのグループの中の、β2のグループとβ4のグループとβ0のグループに分散して存在する。
また、この１つのじゅず順列の（固定席に対する）６つの配置パターンは、変換σ0によってパターンが変わらない配置パターンのグループの中に全部の６個が存在する。
そうして、この１つのじゅず順列を、１２個の全ての反転＋回転変換をすると、変換結果の配置パターンとして、この６個の配置パターンが２回づつ現れる。この１つのじゅず順列の配置の反転対称性ｍが２だから、２回づつ現れるのである。

　以上のように、σ0 以外の変換の要素、σ3、β0、β1、β2、β3、β4、β5、の変換によってパターンが変わらない配置パターンを抽出することで、１／２回転対称性のある６個の配置パターン（１個のじゅず順列の配置のバラエティ）と反転対称性がある３６個の配置パターン（６個のじゅず順列の配置のバラエティ）が抽出された。それぞれは、回転変換と反転変換とによって、（固定席に対しては異なる）６個の配置パターンに変わる（変換による配置パターンのバラエティ（周期）が６である）。
　それ以外の配置パターンは、回転対称性も反転対称性もない配置パターンである。回転対称性も反転対称性もない配置パターンは、回転変換と反転変換とによって、（固定席に対する）１２個の配置パターンに変わる（その配置パターンの周期Ｔが１２である）。

（３）バーンサイドの定理によって、
３種類の玉２＋２＋２個の（席を固定しないで考える）配置の基礎パターンの数＝
（９０＋６×７）／Ｇ＝（９０＋４２）／１２＝１１個
である。
（解答おわり）

【じゅず順列の数の解答（その３）】対称性の計算
　円の中心を通る所定の裏返し線で固定席への配置パターンを裏返す（反転変換する）場合に、
反転結果が、反転前の配置に重なるかどうかを調べる。
（第３のタイプのじゅず順列：線対称性を持つ）
　下図の６個のじゅず順列の配置パターン（変換β0、β1、β2、β3、β4、β5 によって配置パターンが変わらないもの）は、図に書き加えた点線の裏返し線で裏返した反転結果が反転前の元の配置に重なる線対称な形の配置である。

この６個の線対象なじゅず順列は、回転変換と反転変換とにより、配置が変えられる配置パターンのバラエティの数が６である。すなわち、１／６回転で６回回転させることで６つの形に変換できる。

（第１のタイプのじゅず順列：１／２回転させると元にもどる回転対称性を持つ）
　下の６つの配置パターン（変換σ3 によって配置パターンが変わらないもの）は、１／２回転で元の配置の形と同じ形になる回転対称性がある第１のタイプの配置パターンである。

上図の６つの配置パターンは、反転変換と回転変換によって配置パターンが重なり合う１つのじゅず順列である。
　この１つのじゅず順列は、回転変換と反転変換とにより、配置が変えられる配置パターンのバラエティの数（周期）が６である。

　以上の７つの、線対象なパターンと、回転対称性があるパターン、とのじゅず順列は、いずれも配置パターンのバラエティ（周期）が６である。

（第５のタイプ：対称性が無い配置）
　その７つ以外の、線対象性も無く、回転対称性も無い第５のタイプの配置パターンは、回転変換と反転変換とにより、固定席に対する配置パターンを変えられる配置パターンの数（配置のバラエティの数＝周期）が１２である。
そのため、第５のタイプのじゅず順列の数は、
｛固定席での配置の総数－（第３のタイプのじゅず順列の数＋第１のタイプのじゅず順列の数）×６｝／１２
＝｛９０－（６＋１）×６｝／１２＝４
じゅず順列の配置の総数は、この第５のタイプのじゅず順列の数に、第３のタイプと第１のタイプのじゅず順列の数を加えた数であり、
４＋６＋１＝１１
組みです。
（解答おわり）

このじゅず順列の数がバーンサイドの定理の式で計算できる理由は、以下のように式が変形できるからです。

《補足》
　ここで、この問題にバーンサイドの定理の式を使う際に、
（変換β0、β1、β2、β3、β4、β5 によって配置パターンが変わらないもの）
の個数が、それぞれの変換毎に、各々６個あることを調べなければならなかった。その数を調べた上でバーンサイドの定理を使うことができた。

　それらの各変換毎に、その変換によって配置パターンが変わらない配置の数は、どのようにして調べれば良いのだろうか？
一番良い調べ方は、それらの配置パターンが全て、反転対称性があるじゅず順列であると考えた上で、そのじゅず順列の総数を調べることである。
その目的のために、反転対称性のある（周期が６の）全てのじゅず順列の数（６個）を把握したならば、逆に、
（変換β0、β1、β2、β3、β4、β5 によって配置パターンが変わらないもの）反転対称性のある全てのじゅず順列の（固定席に対する）配置パターンの数が（そのタイプのじゅず順列の数）×（そのタイプのじゅず順列の周期）＝６×６で分かる。そうすれば、バーンサイドの定理を使うために各変換毎に一々、変換によって変わらない配置パターンの個数を調べる手間を省くことができる。

　よって、この問題をバーンサイドの定理の式を使って解く解き方の近道は、先ずは、反転対称性のある（周期が６の）全てのじゅず順列の総数を調べることである。

　しかしながら、そのようにバーンサイドの定理を使う近道のために、そのじゅず順列の数が分かったならば、
バーンサイドの定理を使わずとも、【じゅず順列の数の解答（その３）】の解き方によって、全てのじゅず順列の数が分かる。その手順でバーンサイドの定理を使わずに問題を解けば良いので、結局は、この問題を解くためには、上記の解答（その２）のバーンサイドの定理を利用した解き方で解く必要が無い。

【じゅず順列の数の解答（その４）】バーンサイドの定理の正しい使い方
　じゅず順列の数の解答（その２）でのバーンサイドの定理の使い方を、以下のように変えて解くと、バーンサイドの定理でこの問題がスムーズに解ける。

（１）３種類の玉２＋２＋２個の（固定したじゅずの位置への）配置のパターンに関して、じゅず順列には以下の１２個の変換がある。
σ0＝０回転、
σ1＝１／６回転、
σ2＝２／６回転、
σ3＝３／６回転、
σ4＝４／６回転、
σ5＝５／６回転、
γ0＝第０の反転、
γ1＝第１の反転、
γ2＝第２の反転、
γ3＝第３の反転、
γ4＝第４の反転、
γ5＝第５の反転、
によって、配置のパターンが変わり得る。
　γ0からγ5までの６つの反転操作は、以下の図に示した対象軸を中心にして配置パターンを反転させる操作である。

これらの６つの変換操作は、配置パターンを反転させた上で異なる回転角度で配置パターンを回転させる、反転＋回転操作を合わせた操作である。
　この６つのσ0からσ5の回転＋６つのγ0からγ5の反転操作の数Ｇ＝１２個ある。
（２）この１２個のうち、
σ0＝０回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、６！／（２！×２！×２！）＝９０個。
σ1＝１／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
σ2＝２／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
σ3＝３／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
σ4＝４／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
σ5＝５／６回転、によってパターンが変わらない配置パターンは、０個。
γ0＝第０の反転、
γ1＝第１の反転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
γ2＝第２の反転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
γ3＝第３の反転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
γ4＝第４の反転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。
γ5＝第５の反転、によってパターンが変わらない配置パターンは、３！＝６個。

　ここで、
σ3＝３／６回転、によってパターンが変わらない６個の配置パターンは下図の配置パターンである。

　この図で示した６つの配置パターンは、１つの配置パターンを、１／６回転づつ回転させて３個の配置パターンになり、更に、それを反転させて更に３個の配置パターンになり、結局６個の配置パターンになるので、（反転変換と回転変換の周期が６である）１個のじゅず順列の６個の配置パターンである。
　この１個のじゅず順列は、反転に対する対称性は無く、
回転に対しては、ｍ＝２回の対称性がある。そして、１２個の反転＋角度回転変換（変換数Ｇ＝１２）において、（固定席に対する）配置パターンが２回繰り返して同じパターンになるじゅず順列である。このじゅず順列の周期Ｔは、Ｇ／ｍ＝１２／２＝６である。そのじゅず順列は、（固定席に対して）異なる配置パターンがＧ＝１２個は無く、周期Ｔ＝Ｇ／ｍ＝６個しか無い。
しかし、１回転する間にｍ＝２回同じパターンを繰り返し、周期Ｔ＝Ｇ／ｍ＝６回の反転＋回転変換により同じパターンに戻る。そのように、そのじゅず順列の（固定席への）配置パターンが元のパターンに戻る変換の数は、Ｇ／Ｔ＝ｍ＝２個ある。
そのｍ＝２個の各反転＋回転変換毎に、その変換によって元のパターンに戻る（固定席に対する）配置パターンが周期のＴ＝６個現れる。
その各変換に係わって現れる、（元のパターンに戻る）配置パターンの数６のじゅず順列を、そのじゅず順列の配置パターンが各変換で現れる全ての数を合計すると、
変換σ0＝０回転、では６個。
変換σ3＝３／６回転、では６個。
合計で、
Ｔ×ｍ＝（Ｇ／ｍ）ｍ＝Ｇ＝１２
個になる。
そのため、その数をＧで割り算することで、
Ｔ×ｍ／Ｇ＝１
となり、そのじゅず順列の数を１個と数えることができる。

γ0＝第０の反転、によってパターンが変わらない（固定席に対する）６個の配置パターンは下図の、Ｙ軸に関して左右対称な配置パターンである。この配置パターンの数が６個あることは、反転変換するＹ軸に関して左右対称な配置パターンは、軸の片側の玉の配置のバラエティのみで計算でき、３！＝６個と計算できるからである。

（これは１つのバターンを回転させたパターンではない）
この左右対称な配置パターンには回転に対する対象性がなく、６回回転させると（固定席に対して）異なる６つの配置パターンになる。

γ1＝第１の反転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプでは、（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。
この配置パターンの数が６個あることは、反転変換する軸に関して左右対称な配置パターンは、軸の片側の３つの玉の配置のバラエティのみで計算でき、３！＝６個と計算できるからである。

γ2＝第２の反転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプが（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。

γ3＝第３の反転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプが（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。

γ4＝第４の反転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプが（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。

γ5＝第５の反転、によってパターンが変わらない６個の配置パターン（の１つ）は下図の配置パターンである。

このタイプが（固定席に対しては）６個の配置パターンがある。

　以上の、γ0、γ1、γ2、γ3、γ4、γ5、の変換によってパターンが変わらない配置パターンを抽出することで、反転対称性がある３６個の配置パターンが抽出された。その反転対称性がある３６個の配置パターンを、（回転変換の）周期が６の、６個のじゅず順列のグループに分類できる。
　ここで注意すべきことは、反転対称性のある１つのじゅず順列を回転変換した配置パターンが、γ0、γ1、γ2、γ3、γ4、γ5、の変換によってパターンが変わらない配置パターン群の中に分散して存在することである。
　例えば、
γ2＝第２の反転、によって変わらないパターンを持つ下図のじゅず順列については：

このじゅず順列を回転した配置パターンは、
γ2＝第２の反転、によって変わらないパターンが２つある。
γ4＝第４の反転、によって変わらないパターンが２つある。
γ0＝第０の反転、によって変わらないパターンが２つある。
それらの合計６個が同じ１つのじゅず順列をあらわす。
　すなわち、１つのじゅず順列を回転変換した６つ配置パターンが、変換によってパターンが変わらない配置パターンのグループでの、γ2のグループとγ4のグループとγ0のグループに分散して存在する。
　また、この１つのじゅず順列の（固定席に対する）６つの配置パターンは、変換σ0によってパターンが変わらない配置パターンのグループの中に６個が存在する。
　そうして、この１つのじゅず順列を、１２個の全ての反転＋回転変換をすると、変換結果の配置パターンとして、この６個の配置パターンが２回づつ現れる（対称性ｍ＝２）。この１つのじゅず順列の配置パターンには回転に対する対象性がなく、６回回転させると（固定席に対して）異なる６つの配置パターンになる。
　一方で、反転に対する対称性ｍ＝２があり、反転させると同じパターンになる。
結局、この１つのじゅず順列の配置パターンは、反転＋回転変換の周期Ｔ＝Ｇ／ｍ＝６回がある。
その各変換に係わって現れる、（元のパターンに戻る）配置パターンの数を、全ての変換で合計すると、
変換σ0＝０回転、では６個。
変換γ0、γ1、γ2、γ3、γ4、γ5、では６個。
合計で、
１２個になる。
そのため、その合計の数をＧで割り算することで、
１２／Ｇ＝１
となり、そのじゅず順列の数を１個と数えることができる。

　以上のように、σ0 以外の変換の要素、σ3、γ0、γ1、γ2、γ3、γ4、γ5、の変換によってパターンが変わらない配置パターンを抽出することで、１／２回転対称性のある６個の配置パターン（１個のじゅず順列の配置のバラエティ）と反転対称性がある３６個の配置パターン（６個のじゅず順列の配置のバラエティ）が抽出された。それぞれは、回転変換と反転変換とによって、（固定席に対しては異なる）６個の配置パターンに変わる（変換による配置パターンのバラエティ（周期）が６である）。
　それ以外の配置パターンは、回転対称性も反転対称性もない配置パターン（対称性ｍ＝１）である。回転対称性も反転対称性もない配置パターンは、回転変換と反転変換とによって、（固定席に対する）１２個の配置パターンに変わる（その配置パターンの周期Ｔが１２である）。

（３）バーンサイドの定理によって、
３種類の玉２＋２＋２個の（席を固定しないで考える）配置の基礎パターンの数＝
（９０＋６×７）／Ｇ＝（９０＋４２）／１２＝１１個
である。
（解答おわり）

リンク：
バーンサイドの補題を群論の言葉を用いず具体例で説明する＋東大数学・化学の問題をバーンサイドの補題を用いて解く
場合の数と確率
高校数学の目次

円順列とじゅず順列（９）３種類の玉２＋２＋４個

リンク：問１０

円順列とじゅず順列の数を求めます。

以下の問題はかなり難しい（特に、じゅず順列の数の計算）ので、無理して読む必要は無いと思います。
この問題より先に、問１０をやってください。
この問９は、どうしても読みたい人だけ読めば良いと考えます。

【問９】
（１）×２個と●２個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。

（１）先ず、円順列の数を求めます。
〔解１〕
　×と●と○を並べる席が２＋２＋４＝８箇所あります。
８つの席が固定されているならば、×２つと●２つと残り４つを並べる組み合わせの数は、
８！／（４！×２！×２！）＝_８Ｐ_４／（２！×２！）
＝８×７×６×５／（２×２）＝４２０通り
あります。
×と●と○の１つの円順列の配置を回転させると、固定した席に対しては８倍の異なる配置になる場合があります。
固定した席への配置する場合の数の４２０通りの配置のうち、１つの円順列の配置を回転させて８倍の配置ができる場合については、その場合の数を８で割り算して円順列の数を数えます。

（第１のタイプの配置）
下の３つの円順列の配置では、１／２回転で元の形と同じ形になります。

このタイプの配置では、１つの円順列の配置を回転させて４倍の配置ができます。
この３つの円順列の配置以外では、１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になるものはありません。
第１のタイプ以外の配置では、１回転で元の形に戻る配置であって、円順列で１つと数えられる配置を回転して（固定した席では）８倍の配置ができます。
第１のタイプ以外の円順列の数は、
第１のタイプ以外の円順列の数
＝（固定席での全部の配置の数－（第１のタイプの円順列の数×４））／８
＝（４２０－（３×４））／８＝４０８／８＝５１
一方、第１のタイプの円順列の数は３組でした。
よって、全部の円順列の数は、
５１＋３＝５４
組みです。
（解１おわり）

〔解２〕
　以下のように考えて解くことができます。
（第１のタイプの配置：(1/2)回転で元の形と同じ形になる配置）

　(1/2)回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から(1/2)回転した位置にもあるように繰り返して存在し、結局、黒玉●が中心対称な位置に２個ある配置パターンになる。第１のタイプの配置パターンは、そのように、各色の玉が中心対称な位置にある配置パターンである。
　第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／２の部分の、４個の玉の部分が１周期になって、それが２回繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の円の１／２の部分の４個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、上図のように１個の×の位置を固定して考え、その配置の数は１個の●の位置のバラエティの数である。その数は上図のように３組ある。
　第１のタイプの配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／２回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、した場合の４つの異なる配置が作られる。
　席を固定した場合の、第１のタイプの配置のパターンの数は、席を固定しない場合の配置パターンの数３の４倍になる。その数は：
３×４＝１２
個である。

（１回転すると元の形に戻る（全部の）配置）
　１回転して元の形になる全ての配置パターンには、第１のタイプの配置が含まれる。 全配置パターンの、席が固定された場合の配置の数は、以下のように計算する。
　×と●と○を並べる席が２＋２＋４＝８箇所ある。
８つの席が固定されているならば、×２つと●２つと残り４つを並べる組み合わせの数は、
８！／（４！×２！×２！）＝_８Ｐ_４／（２！×２！）
＝８×７×６×５／（２×２）＝４２０個
ある。

（第１のタイプ以外の配置：１回転して初めて元の形に戻る配置）
　全部の組合せの数から、第１のタイプの配置パターンの数を引き算することで、１回転して初めて元の形に戻る、（席を固定した場合の）配置の数を求める。その数は：
４２０－（３×４）＝４０８
個ある。
　この、第１のタイプ以外の配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になる。すなわち、１周期である１回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、(4/8)回転、(5/8)回転、(6/8)回転、(7/8)回転した８つの場合で８つの異なる配置が作られる。
　席を固定しない場合の、この第１のタイプ以外の配置の数は、席を固定した場合の配置の数４０８の８分の１になる。その数は：
４０８／８＝５１
組ある。

（全部の円順列の数）
　以上の合計の、席を固定しない場合の、全部の円順列の配置パターンの数は：
３＋５１＝５４
組ある。
（解２おわり）

（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、裏返す前と同じ円順列の配置になる配置があるかどうかを調べます。

（第２のタイプ：線対称な配置）
下の１２の配置は、円の中心と×の配置の中間を通る裏返し線に関して対称な形であって、
裏返し線で裏返した配置の形が元の配置と同じ形になるタイプの配置です。

この第２のタイプの円順列は１２個のみです。
第２のタイプ以外の配置では、線対称な形では無いので、裏返した形は、元の形を回転することでは作れません。
第２のタイプ以外の円順列の配置は、元の配置と、裏返した後の配置とは異なる２個の配置と数えられています。
このように、第２のタイプ以外の配置は、円順列では２倍に数えられているので、
第２のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、倍率である２で割り算して求められ、その数は、
（５４－１２）／２＝２１
あります。
一方、第２のタイプのじゅず順列の数は１２個でした。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝２１＋１２＝３３

場合の数と確率
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円順列とじゅず順列（８）３種類の玉２＋２＋３個

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問８】
（１）×２個と●２個と○３個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。

（１）先ず、円順列の数を求めます。
×と●と○を並べる席が２＋２＋３＝７箇所あります。
７つの席が固定されているならば、×２つと●２つと残り３つを並べる組み合わせの数は、
７！／（３！×２！×２！）＝_７Ｐ_４／（２！×２！）
＝７×６×５×４／（２×２）＝２１０通り
あります。
--------補足------------
この計算は、以下のように計算することもできます。
７！／（３！×２！×２！）＝７！／（２！×２！×３！）
＝（_７Ｃ_２）（５Ｃ_２）
＝（７×６）（５×４）／（２×２）＝２１０通り
-------補足おわり-------

　玉×と●と○の１つの円順列の配置を回転させると、固定した席に対しては７倍の異なる配置になります。
もし１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になる配置があれば、それは７倍とは異なる倍数の配置ができますが、
この問題の場合では、１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になるものはありません。
そのため、固定した席への配置する場合の数の２１０通りの配置の数は、１つの円順列の配置を回転してできる７倍の配置の数であるので、その配置の数２１０を７で割り算して円順列の数を数えます。
よって、全部の円順列の数は、
円順列の数＝２１０／７＝３０
です。

（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、裏返す前と同じ円順列の配置になる配置があるかどうかを調べます。

（第１のタイプ：線対称な配置）
下の６つの形の配置は、円の中心と×の配置の中間点を通る裏返し線を配置の中心軸にすれば、
裏返し線で裏返した配置の形を、元の配置と同じ形にできる線対称な形の配置です。

この第１のタイプの配置は６個のみです。
第１のタイプ以外の配置では、線対称では無いので、それを裏返した形は、元の形を回転することでは作れません。
円順列では、第１のタイプ以外の配置では、元の配置と、裏返した後の配置とは異なる２個の配置と数えられています。
このように、第１のタイプ以外の配置は、円順列では２倍に数えられているので、
第１のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、倍率である２で割り算して求められ、その数は、
第１のタイプ以外のじゅず順列の数
＝（全部の円順列の数－第１のタイプの円順列の数）／２
＝（３０－６）／２＝１２
あります。
一方、第１のタイプのじゅず順列の数（＝円順列の数）は６個でした。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝１２＋６＝１８

場合の数と確率
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円順列とじゅず順列（７）黒玉３つ白玉４つ

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問７】
（１）●３個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。

（１）先ず、円順列の数を求めます。
玉●と○を並べる席が３＋４＝７箇所あります。
７つの席が固定されているならば、玉●３つを並べる組み合わせの数は、
_７Ｃ_３＝７×６×５／（３×２）＝３５通り
あります。
席への●と○の１つの円順列の配置は、１回転して元の形に戻り、その間の１／７ずつの回転では、固定した席に対しては異なる７つの配置になります。
そのため、席を固定して配置した場合の数は、１つの配置が回転した数がだぶって数えられています。
この問題の場合に、回転することによってできる配置の数は７倍あります。
１つの回転から７倍の配置ができる組み合わせの数は、固定した席の組み合わせの数を７で割り算して数えます。
それは下の図のような●の配置の場合です。

もし、１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になる配置があれば、それは７倍とは異なる倍数の配置ができますが、
この問題の場合では、１回転の数分の１の回転で元の形と同じ形になるものはありません。
つまり、この問題の場合では、席を固定した場合のどの配置も、円順列で１つと数えられる配置を回転して７倍になった配置であって、全て同じタイプの配置です。
よって、全部の円順列の数は、
円順列の数＝３５／７＝５

（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。

（第１のタイプ：線対称な配置）
下の形の配置は、円の中心を通る裏返し線を配置の中心軸にすれば、
裏返し線で裏返した配置の形を、元の配置と同じ形にできるタイプの配置です。

この第１のタイプの配置は３個あります。
第１のタイプ以外の配置（線対称では無い配置）では、その配置を裏返し線で裏返した形は、元の形を回転することでは作れません。
円順列では、第１のタイプ以外の配置では、元の配置と、裏返した後の配置とは異なる２個の配置と数えられています。
このように、第１のタイプ以外の配置は、円順列では２倍に数えられているので、
第１のタイプ以外の配置の、じゅず順列の数は、倍率である２で割り算して求められ、その数は、
（５－３）／２＝１
あります。
一方、第１のタイプのじゅず順列の数は３個でした。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
じゅず順列の数＝１＋３＝４

場合の数と確率
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円順列とじゅず順列（６）３種類の玉１＋２＋４

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問６】
（１）×１個と●２個と○４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。

（１）先ず、円順列の数を求めます。
この問題では、×が１個のみです。
このように、ある形の玉が１個のみの問題の考えかたは、以下のようにします。
つまり、その１個のみの玉×を円の最上部に固定して考えます。
円順列の数は、残りの●２個と○４個を並べる組み合わせの数になります。
●の位置を定めると残りの○の位置が自動的に決まりますので、●の配置の数だけを求めれば、
円順列の数が求められます。
その配置の数は、
_６Ｃ_２＝６×５／２＝１５通り
あります。
そのため、全部の円順列の数は、
円順列の数＝１５

（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心と玉×を通る裏返し線でその円順列の配置を対称に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。

（第１のタイプ：線対称な配置）
下の３つの形の場合は、×と円の中心を通る線で円順列の配置を裏返してできる配置の形が、元の配置と同じ形になります。

この（第１のタイプの配置の）円順列は３つしかありません。
（第２のタイプ：線対称で無い配置）
　第２のタイプの円順列の配置は、裏返してできる配置の形が、元の配置と同じ形にならない。
その配置は、元の形と、それを裏返した形が別の配置として２個と数えられています。
そのため、第２のタイプの円順列に対応する、第２のタイプのじゅず順列の数は、
｛（全ての円順列の数）－（第１のタイプ以外のじゅず順列の数）｝＝（第２のタイプの円順列の数）
を２個で割り算した数であり、以下の式で計算できる。
第２のタイプのじゅず順列の数＝
＝（_６Ｃ_２－３）／２
＝（１５－３）／２
＝６
である。
一方、第１のタイプのじゅず順列の数＝３
です。
そのため、全部のじゅず順列の数は、
全部のじゅず順列の数＝
＝６＋３
＝９

場合の数と確率
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