円順列とじゅず順列の数を求めます。
【問１】
（１）●２個と○３個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。
《解答方針》
この問題は、上図のような黒玉１と黒玉２の並びが異なる配置を区別しない問題です。同じ色の玉の間では、１つ１つが異なる玉の個性のバラエティを無くして考えます。このように玉の個性のバラエティを無くして計算する問題の場合は、「組合せ」を使って計算します。
【解答】
（１）先ず、円順列の数を求めます。
円順列の問題とは、円に配置した玉の配置を、円の中心の周りに回転させる操作をしたら重なる配置を同じ配置とみなして配置の数を数える問題です。
上図では、玉●と○を並べる席が２＋３＝５箇所あります。
５つの席が固定されているならば、●玉２つを並べる組み合わせの数は、
５Ｃ２＝５×４／２＝１０通り
あります。
上図の固定した席への●と○の配置は１回転させると元の形の配置に戻ります。また、１／５回転させる毎に異なる配置になり、１回転させるまでに５つの異なる配置になります。
固定した席への配置の数は、席を固定しない円順列の配置の数の５倍あります。
そのため、固定した席での全配置の数の１０通りの配置の数を５で割り算した答えが円順列の数です。
円順列の数＝１０／５＝２
（２）次に、じゅず順列の数を求めます。
じゅず順列の問題とは、円に配置した玉の配置を、ある中心線に対して線対称な形に変換する（裏返す）操作と、円の中心の周りに回転させる操作によって重なる配置同士を同じ配置とみなして配置の数を数える問題です。
また、中心線に対して線対称な形に変換する（裏返す）操作は、その他の任意の中心線に対して線対称な形に変換する操作と、円の中心の周りに回転させる操作を合わせた操作と同じです。
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線に関して、元の配置を対称な形に裏返して（線対称な形に変換して）、円の中心の周りに回転させた配置が、円順列においては元の配置とは異なる配置であるかどうかを調べます。それは、その配置の形が円の中心を通るどの直線に対しても線対称では無いか、あるいは、ある直線に関して線対称であるどうかを調べる事と同じです。
上図の問題の場合は、どの円順列の配置の形も、
円の中心を通る裏返し線の位置を、２つの●玉の中間を通る位置に設定すれば、
その裏返し線に関して配置の形が線対称です。そのため、任意の裏返し線においても、その線を中心にして配置を対称な形に変換する操作と、円の中心の周りに回転させる操作を合わせた操作では、元の配置と同じ形の配置になります。
そのように、じゅず順列の配置を裏返し線に関して線対称な形に変換する裏返し操作をしても､
その配置が元の円順列の配置の形と同じになるので，じゅず順列の配置の数は、円順列の配置の数と同じ、２組です。
場合の数と確率
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佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】点Ｐ（ａ，ｂ）と点Ｑ（Ｘ，Ｙ）の間に、次の関係があるものとする。
Ｘ＝ｋａ／（ａ２＋ｂ２） （式１）
Ｙ＝ｋｂ／（ａ２＋ｂ２） （式２）
（ｋは０でない定数）
点Ｐ（ａ，ｂ）が直線１２ｘ－５ｙ＋１＝０上を動くとき、点Ｑ（Ｘ，Ｙ）はどんな図形を描くか。
ここで、直線の式に点Ｐ（ａ，ｂ）の座標を代入した式３を書いておく。
１２ａ－５ｂ＋１＝０ （式３）
（解き方の方針）
この問題は、式３の直線上の点Ｐと原点を結ぶ半直線上の点Ｑに関して、ＯＰ・ＯＱ＝ｋとなる場合のＱ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を、Ｘのみをパラメータａ又はｂであらわす式と、Ｙのみをパラメータａ又はｂであらわす式とを求めた後に、
それらの式からＸとＹの関係式を考える問題です。
以下では、そのような場合に、素早く問題を解く計算技術を示す。
（解答）
式１と式２のような式のグループからパラメータａ又はｂを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式１と式２が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式１の分子と式２の分子を足し算して式１及び２の分母ができるか、あるいは分子からパラメータａ又はｂを消せないかを考える。
（３）単なる足し算で式１及び式２の分母ができない場合は、次に、式１の分子の二乗と式２の分子の二乗を足し算して式１及び２の分母ができるかを考える。
この問題の場合、式１の分子の二乗と式２の分子の二乗を足し算して式１及び２の分母ができることがわかるので、式１の二乗と式２の二乗を足し算する。
Ｘ２＋Ｙ２＝ｋ２｛ａ２＋ｂ２｝／（ａ２＋ｂ２）２
Ｘ２＋Ｙ２＝ｋ２／（ａ２＋ｂ２） （式４）
この式４により、分子にはパラメータａもｂも含まれず定数のみであらわせた式が得られた。
この式４と、式１と式２を使って、分母が同じで、分子が式３であらわされる式を作る。
その式は、分子が式３を満足するので、値が０である。
１２（Ｘ／ｋ）－５（Ｙ／ｋ）＋（Ｘ２＋Ｙ２）／ｋ２＝０
１２ｋＸ－５ｋＹ＋（Ｘ２＋Ｙ２）＝０ （式５）
（計算技術についての考察）
ここまでの計算で、ｂは式３により、ａであらわせる式であるが、分母が共通な式を利用して、分子だけで式３を満足する式を作った。この計算により、分母のｂをａであらわす計算をせずに、分母を含めて、パラメータであらわされた項をまとめて消去することに成功した。このようにすることで、分母を計算する手間が省けた。
なお、ここで（０，０）を式５に代入すれば左辺が０になるので、点（０，０）は式５の円を通る。このことに注目して、おぼえておく。
次に、式５を変形する。
（Ｘ＋６ｋ）２＋（Ｙ－（５ｋ／２））２＝（６ｋ）２＋（５ｋ／２）２
（Ｘ＋６ｋ）２＋（Ｙ－（５ｋ／２））２＝（１３ｋ／２）２
この式は中心が（－６ｋ，（５ｋ／２））にあり、（０，０）を通り、半径が（１３ｋ／２）の円である。
この円と直線の関係をあらわす図を下の図のように書ける。
この図で、直線上の点Ｐ（ａ，ｂ）が左右方向に無限遠方に遠ざかれば、Ｑ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）に近づくが、Ｑ（Ｘ，Ｙ）は決して（０，０）には到達しない。
この図を書くことにより、そのことが明確にわかる。
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佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】円ｘ２＋ｙ２＝１と定点Ａ（３，－２）がある。この円周上の動点Ｑにおける接線上に点Ｐ（Ｘ，Ｙ）をとり、ＡＰ＝２ＰＱにするとき、点Ｐの軌跡の方程式を求めよ。
（目標の設定）
この問題を解く方針の検討において、定石に従って、先ずは、Ｐ点のＸ座標のみを何かのパラメータであらわす第１の式と、Ｙ座標のみを何かのパラメータであらわす第２の式を求めたかった。定石では、その次に、ＸとＹの間に成り立つ関係式を求める。
しかし、Ｘ座標又はＹ座標を何らかのパラメータを使ってあらわす式は、簡単には導けそうにない。そのＸ座標あるいはＹ座標をあらわす式を求めるためには、２次方程式を解かなければいけないように見える。
そうするには、その式を求めるだけでも、ずいぶん手間がかかりそうだ。
そのため、仕方ないので、定石である上記の方針を変更して、先ずは、点ＰのＸ座標とＹ座標の間になりたつ関係式を導くことにする。そして、その関係式をあらわすグラフを描いて、図を見ることで、求められた方程式があらわすグラフのどの部分を、点Ｐが動くかを調べることにする。
（解答）
接点ＱからＰまでの線分の長さＱＰは、三角形ＯＱＰが直角三角形であることからＱＰ＝√（ＯＰ２－ＯＱ２）である。そのため、以下の式が成り立つ。
ＱＰ２＝ＯＰ２－ＯＱ２
ＱＰ２＝Ｘ２＋Ｙ２－１ （式１）
２ＰＱ＝ＡＰであるので、
（２ＰＱ）２＝ＡＰ２
４｛Ｘ２＋Ｙ２－１｝＝（Ｘ－３）２＋（Ｙ＋２）２
３Ｘ２＋３Ｙ２－４＝－６Ｘ＋９＋４Ｙ＋４
３Ｘ２＋６Ｘ＋３Ｙ２－４Ｙ＝１７
Ｘ２＋２Ｘ＋Ｙ２－（４／３）Ｙ＝１７／３
（Ｘ＋１）２＋（Ｙ－（２／３））２＝（１７／３）＋１＋（２／３）２
（Ｘ＋１）２＋（Ｙ－（２／３））２＝（５１／９）＋（９／９）＋（４／９）
（Ｘ＋１）２＋（Ｙ－（２／３））２＝（８／３）２ （式２）
ここで、この円は、下の図のようになる。
Ｐ点がこの円上の全範囲を移動するかどうか、Ｑ点の位置が移動する場合にＰ点がどこに来るかを図を見ながら検討する。
この図の場合は、点Ｑが円ｘ２＋ｙ２＝１の全円周上を移動する場合に、ＡＰ＝２ＰＱの関係を満足する点Ｐも（式２）の全円周上を動くことが図からわかる。
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佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】直線ｙ＝ｍｘと円（ｘ－２）２＋ｙ２＝３が２点ＰとＱで交差する場合において、ｍの変化範囲が、交差点のＰ、Ｑが存在し、かつ、その２点が重ならない場合における、線分ＰＱの中点Ｒの軌跡を求めよ。
この問題を解く方針としては、Ｘのみをパラメータａであらわす式と、Ｙのみをパラメータａであらわす式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
そのため、以下では、その方針で問題を解きます。
計算する上で記号を間違えないために、Ｐ点の座標をＰ（ａ，ｂ）とし、Ｑ点の座標をＱ（ｃ，ｄ）とあらわして計算する。
ＰＱの中点Ｒ（Ｘ，Ｙ）は以下の式であらわされる。
Ｘ＝（ａ＋ｃ）／２ （式１）
Ｙ＝（ｂ＋ｄ）／２ （式２）
交点ＰとＱは以下の式で求められる。
ｙ＝ｍｘ （式３）
（ｘ－２）２＋ｙ２＝３ （式４）
式３を式４に代入してｙを消去してｘをｍであらわす。
（ｘ－２）２＋（ｍｘ）２＝３
（ｍ２＋１）ｘ２－４ｘ＋１＝０ （式５）
この式５は点Ｐのｘ座標ａと点Ｑのｘ座標ｃに関しては以下の式であると考えられる。
（ｍ２＋１）（ｘ－ａ）（ｘ－ｃ）＝０ （式６）
式５と式６が同一式であるので、以下の関係がなりたつ。
－４ｘ＝－（ｍ２＋１）（ａ＋ｃ）ｘ
この式を変形する。
（ａ＋ｃ）＝４／（ｍ２＋１） （式７）
この式７を式１に代入して以下の式を得る。
Ｘ＝（ａ＋ｃ）／２＝２／（ｍ２＋１） （式８）
式３のｘ＝ａであるときｙ＝ｂ、ｘ＝ｃであるときｙ＝ｄである関係を使って式２を変形する。
Ｙ＝（ｂ＋ｄ）／２＝ｍ（ａ＋ｂ）／２
この式に式７を代入して以下の式を得る。
Ｙ＝ｍ（ａ＋ｃ）／２＝２ｍ／（ｍ２＋１） （式９）
式８と式９でＸとＹがｍであらわせた。
このような式のグループからｍを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式８と式９が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式８の分子と式９の分子を足し算して式８及び９の分母ができるか、あるいは分子からパラメータｍが消えないかを考える。
（式８の分子にはパラメータｍが無いので、既に、この条件を満たす式８が得られている。この式８は後で用いる。）
（３）単純な足し算では、式８及び９の分母が出来ない場合は、、式８の分子の二乗と式９の分子の二乗を足し算して式８及び９の分母ができるかを考える。
この式８の分子の二乗と式９の分子の二乗を足し算して式８及び９の分母ができることがわかります。
そのため、式８の二乗と式９の二乗を足し算します。
Ｘ２＋Ｙ２＝｛１＋ｍ２｝（２／（ｍ２＋１））２
Ｘ２＋Ｙ２＝２２／（ｍ２＋１） （式１０）
式１０と式８は、分母が同じで、その分子にはパラメータｍが入っていないことに注目する。そのため、式１０と式８に係数を掛け算して足し合わせることで、右辺の複雑な分数の式を消去できるので、以下でそうする。
－２・（式８）＋（式１０）を計算する。
－２Ｘ＋Ｘ２＋Ｙ２＝０
（ｘ－１）２＋Ｙ２＝１ （式１１）
ここで、この円と直線は、下の図のようになる。
式５でｍの範囲が負のある値から正のある値までの範囲内にあれば、直線ｙ＝ｍｘと円とが交差する。その境界の値では両者が接して点ＰとＱが重なってしまう。
そのため、異なるＰ点とＱ点で直線と円とが交差するためには、直線が円に接する場合は除外しなければならない。
しかし、式８と式９では、直線ｙ＝ｍｘが円に接しない場合でも存在しないＰ点とＱ点の中点のＲの座標が計算されてしまっている。
（これは、存在しない交点のＰ点とＱ点の座標が複素数で与えられ、その中点のＲが実在の点として存在していることをあらわしているが、そういう概念は高校数学の範囲を大きく超えるので、この問題を解くには、それは考えないことにする。）
Ｐ点とＱ点が重なる場合、すなわち、直線ｙ＝ｍｘと円とが接する場合のｍの値を式５から計算する。
（以下の計算は「判別式」を急きょ導出する計算です：判別式を思い出しても、その記憶の確かさを確認するのが面倒と思っている人専用の解き方です）
そのｍの値は、式５が重根を持つ、以下の式１２に等しくなる場合のｍの値である。
（ｍ２＋１）（ｘ－ａ）２＝０ （式１２）
この式１２を式５と比べる。
２（ｍ２＋１）ａ＝４ （式１３）
（ｍ２＋１）ａ２＝1 （式１４）
（式１３）を式１４に代入してａを消去する。
（ｍ２＋１）（２／（ｍ２＋１））２＝1
４＝（ｍ２＋１）
３＝ｍ２
ｍ＝±√３ （式１５）
この式１５を式８に代入する。
Ｘ＝２／（（±√３）２＋１）＝２／４＝１／２
式１５を式９に代入する。
Ｙ＝２（±√３）／（（±√３）２＋１）＝（±√３）／２
よって、Ｒ（Ｘ，Ｙ）の描く軌跡は、ｍが－√３近くから＋√３近くまで変わるときに、
（１／２）＜Ｘ≦２
の範囲の上図の円（式１１）の範囲を、
（１／２，－√３）の近くから（２，０）を経由して（１／２，√３）の近くまで移動する。
このことは上の図を書くことにより、明確にわかる。
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【問１】原点をＯとする。直線ｘ＋ｙ＝５上をＰ点が動くとき、半直線ＯＰ上に、ＯＰ・ＯＱ＝２０となる点Ｑを置く。そのＱ点の軌跡を求めよ。
計算する上で記号を間違えないために、Ｐ点の座標をＰ（ａ，ｂ）とあらわして計算する。
ａ＋ｂ＝５ （式１）
Ｘ＝ｔ・ａ （式２）
Ｙ＝ｔ・ｂ （式３）
√｛ａ２＋ｂ２｝・ｔ√｛ａ２＋ｂ２｝＝２０
∴ ｔ｛ａ２＋ｂ２｝＝２０ （式４）
この問題を解く方針としては、Ｘのみをパラメータａであらわす式と、Ｙのみをパラメータａであらわす式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
そのため、以下では、その方針で問題を解きます。
式１から、
ｂ＝５－ａ （式５）
式５を式４に代入して整理する。
ｔ＝２０／｛ａ２＋（５－ａ）２｝ （式６）
式６を式２に代入する。
Ｘ＝２０ａ／｛ａ２＋（５－ａ）２｝ （式７）
式６と式５を式３に代入する。
Ｙ＝２０（５－ａ）／｛ａ２＋（５－ａ）２｝ （式８）
式７と式８でＸとＹがａであらわせた。
このような式のグループからａを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式７と式８が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式７の分子と式８の分子を足し算して式７及び８の分母ができるか、あるいは分子からパラメータａを消せないかを考える。
この式７の分子と式８の分子を足し算すれば、分子から変数ａが消去できることがわかります。
そのため、式７と式８を足し算する。
Ｘ＋Ｙ＝２０・５／｛ａ２＋（５－ａ）２｝ （式９）
（３）次に、式７の分子の二乗と式８の分子の二乗を足し算して式７及び８の分母ができるかを考えます。
この式７の分子の二乗と式８の分子の二乗を足し算して式７及び８の分母ができることがわかります。
そのため、式７の二乗と式８の二乗を足し算します。
Ｘ２＋Ｙ２
＝｛ａ２＋（５－ａ）２｝（２０／｛ａ２＋（５－ａ）２｝）２
＝２０２／｛ａ２＋（５－ａ）２｝ （式１０）
式９と式１０の分母が同じで、しかも、その分子にはパラメータａが入っていないことに注目する。そういう場合には、式９と式１０に係数を掛け算して足し合わせることで、右辺の複雑な分数の式を消去できるので、以下でそのようにする。
－（式９）・４＋（式１０）を計算する。
－４（Ｘ＋Ｙ）＋Ｘ２＋Ｙ２＝０
（ｘ－２）２＋（Ｙ－２）２＝８
ここで、この円と直線は、下の図のようになる。
式７と式８でａが負の無限大か正の無限大に大きくなれば、Ｘ＝０，Ｙ＝０に近づくが、Ｑ（Ｘ，Ｙ）は決して（０，０）には到達しない。
この図を書くことにより、そのことが明確にわかる。
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佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０ （直線１）
ｘ＋ｍｙ－５＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。
交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）を与える式は、２直線を与える式をそのまま使うことができる。
ｍＸ－Ｙ＋５ｍ＝０ （式１）
Ｘ＋ｍＹ－５＝０ （式２）
ここで、この式を連立してｍを消去すれば、ＸとＹの式が得られるが、
その場合は、式からｍが消えてしまうので、ｍの値の増減とともにＰ（Ｘ，Ｙ）がどういうふうに移動して、どこまでがその移動範囲であるかどうかがわからなくなってしまうという欠点がある。
そのため、この問題を解く方針としては、式１と式２から、Ｘのみをｍで与える式と、Ｙのみをｍで与える式を求めて、それからＸとＹの関係式を考える方が確実な解き方と考える。
大学の入学試験でも、そのようなやり方で問題を解く学生を合格させたいと考えるのではないかと思います。
そのため、以下では、その方針で問題を解きます。
（式１）・ｍ＋（式２）を計算してＹを消去する。
｛ｍ２Ｘ－ｍＹ＋５ｍ２｝＋｛Ｘ＋ｍＹ－５｝＝０
（ｍ２＋１）Ｘ＋５（ｍ２－１）＝０
Ｘ＝－５（ｍ２－１）／（ｍ２＋１） （式３）
（式１）－（式２）・ｍを計算してＸを消去する。
｛ｍＸ－Ｙ＋５ｍ｝－｛ｍＸ＋ｍ２Ｙ－５ｍ｝＝０
－（１＋ｍ２）Ｙ＋１０ｍ＝０
Ｙ＝１０ｍ／（ｍ２＋１） （式４）
式３と式４でＸとＹがｍであらわせた。
このような式のグループからｍを消去する場合の計算技術としては、
（１）先ず、式３と式４が同じ形の分母を持っていることに注目する。
（２）次に、式３の分子と式４の分子を足し算して式３及び４の分母にできないかを考える。
（３）単純な足し算では、式３及び４の分母が出来ない場合は、分子を二乗して足し算して式３及び４の分母ができないかを考える。
この式３の分子の二乗と式４の分子二乗を足し算すれば、式３及び式４の分母の二乗が作れることがわかります。
そのため、式３の二乗と式４の二乗を足し算します。
Ｘ２＋Ｙ２
＝｛（ｍ２－１）２＋（２ｍ）２｝・（５／（ｍ２＋１））２
＝｛ｍ４＋２ｍ２＋１｝・（５／（ｍ２＋１））２
＝｛（ｍ２＋１）２｝・（５／（ｍ２＋１））２
＝５２
∴ Ｘ２＋Ｙ２＝５２ （式５）
ここで、式５は円の式ですが、そのＸは式３のようにｍであらわせる。
式３は変形すると
Ｘ＝－５＋１０／（ｍ２＋１） （式６）
式６は、ｍが－∞＜ｍ＜＋∞の範囲内で変化するとき、Ｘが、以下の範囲内を変化することをあらわしている。
－５＜Ｘ≦＋５
すなわち、Ｘがー５になるには、１／（ｍ２＋１）が０にならなければならないが、それは、ｍがどれだけ大きくても０にはならない。そのため、Ｘ＝－５は式５があらわす円の一部であるが、その点は式６及び式３ではあらわされない。
式４を見ると、ｍが正であるか負であるかによってＹも正や負になることをあらわしている。
この関係を以下のように図示する。
結局、ｍが０から負の無限大に向かうとき、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は、式５であらわされる円の（５，０）から負のＹの値の円の下側の周を（－５，０）に向かって進む。
ｍが０から正の無限大に向かうとき、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は、式５であらわされる円の（５，０）から正のＹの値の円の下側の周を（－５，０）に向かって進む。
しかし、Ｐ点は決して、（－５，０）には到着しない。
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佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】
下図のように点Ａ（ａ１，ａ２）とＢ（ｂ１，ｂ２）と原点を中心とする半径ｒの円上を動く点Ｐ（ｐ１，ｐ２）とを頂点とする三角形の重心Ｇ（ｘ，ｙ）は、点Ｐがその円上を動くとき、どういう軌跡を動くか。その点Ｇ（ｘ，ｙ）の描く軌跡の方程式を導け。
【問２】
次に、点Ｇがその円周上を完全に一周するかを調べよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第４講 ２次方程式の解と複素数
【問】次の式を、ｘの一次式を分母にする分数の和であらわせ。
１／（ｘ２＋１） （式１）
この式１は以下のように変形して解きます。
１／（ｘ２＋１）
＝１／（（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ））
＝ａ／（ｘ＋ｉ）＋ｂ／（ｘ－ｉ） （式２）
式２のａとｂは以下の式を解いて求める。
ａ（ｘ－ｉ）／（（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ））
＋ｂ（ｘ＋ｉ）／（（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ））
＝１／（（ｘ＋ｉ）（ｘ－ｉ））
分子だけ考えて、
ａ（ｘ－ｉ）＋ｂ（ｘ＋ｉ）＝１ （式３）
式３はｘの値が何であっても、いつも成り立っている恒等式であるので、ｘの係数は０でなければならない。ｘの係数が０であるために、以下の式４がなりたつ。
ｂ＝－ａ （式４）
式４を式３に代入すると以下の式になる。
ａ（ｘ－ｉ）－ａ（ｘ＋ｉ）＝－２ａ・ｉ＝１
ａ＝１／（－２ｉ）
＝ｉ／（－２ｉ・ｉ）
＝ｉ／（２）
＝ｉ／２ （式５）
式５を式４に代入してｂを求める。
ｂ＝－ｉ／２ （式６）
式５と式６を式２に代入すると、以下の答えが得られる
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第４講 ２次方程式の解と複素数
【問】次の式を因数分解せよ。
ｘ２＋２ｘ＋２
この式は以下のように変形して解きます。
ｘ２＋２Ｘ＋２
＝ｘ２＋２Ｘ＋１＋１
＝（ｘ＋１）２＋１
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝（（ｘ＋１）－ｉ）（（ｘ＋１）＋ｉ）
＝（ｘ＋１－ｉ）（ｘ＋１＋ｉ）
ここで使った数 ｉ は虚数です。
ｉ×ｉ＝－１
という、２乗すると負になる数です。
１－ｉとか１＋ｉといった数は実数の１と虚数のｉを混ぜた数であって、この数を複素数と呼びます。
上のようにして因数分解することで、全ての二次方程式を因数分解できるようになります。
なお、１＋ｉと１－ｉは互いに共役（きょうやく）な複素数と呼びます。
（１＋ｉ）・（１－ｉ）＝１－（－１）＝２
（１＋ｉ）＋（１－ｉ）＝２
というように、
互いに共役（きょうやく）な複素数は、掛け算しても実数になり、
足し算しても実数になる性質を持ちます。
ａ＋ｂ・ｉ≡ｚ
として、実数ａとｂを使ってあらわした複素数をｚと名付けたとき、
複素数ｚ＝ａ＋ｂ・ｉに共役な複素数（ａ－ｂ・ｉ）は上線付きのｚ記号であらわします。
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第４講 ２次方程式の解と複素数
２次方程式が因数分解し切れない場合があるのを改善するため、複素数を導入して、全ての２次法廷式を因数分解できるようにする。
【問】次の式を因数分解せよ。
ｘ２＋１
この式は以下のように変形して解きます。
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
ｘ２＋１
＝（ｘ－ｉ）（ｘ＋ｉ）
ここで使った数 ｉ は虚数と呼ばれています。
ｉ２ ＝－１
という、２乗すると負になる数です。
この虚数 ｉ は、目に見えない世界をあらわす数です。
目に見えない世界をあらわす虚数を使うと、数学がより自由に自然現象を記述できるようになります。
例えば、全ての二次方程式を因数分解できるようになることがその１つのメリットです。
《複素数平面》
横軸に実数をあらわす実軸を持ち、
縦軸に虚数をあらわす虚軸を持つ平面を複素数平面と呼び、
その平面上の点で複素数をあらわします。
上図のように、例えば、虚数 ｉ や、（１＋ｉ）／√２などの複素数を複素数平面上の点であらわします。
この複素平面で、実軸の右側にある数”１”が、全ての数の基準です。
この複素平面に置いてあらわした数と０をあらわす座標原点との距離を、”絶対値”と呼び、以下の式のように、複素数ｚを、|ｚ|というように、||で囲んであらわします。
絶対値の例 |ｉ|＝１
上の図には、虚数ｉの平方根である（１＋ｉ）／√２があらわされていますが、（１＋ｉ）／√２の絶対値は１であって、（１＋ｉ）／√２は、０を中心とする半径１の円上にあります。
しかも、（１＋ｉ）／√２の実軸と成す角度は４５度で、０と１を結ぶ線（実軸）と、０とｉを結ぶ線（虚軸）が成す角９０度のちょうど半分です。
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二次方程式の解の公式を２次関数のグラフから求めます。
以下の２次方程式を解くことを考えます。
Ｘ２＋ＢＸ＋Ｃ＝０
変形して、
（Ｘ＋（Ｂ／２））２－（Ｂ／２）２＋Ｃ＝０
－（Ｂ／２）≡ｍ
－（Ｂ／２）２＋Ｃ≡－Ｄ
と定義したｍとＤを使って式を書き直すと、
（Ｘ－ｍ）２－Ｄ＝０ （式１）
となります。
ここで、
ｙ＝（Ｘ－ｍ）２－Ｄ （式２）
の２次関数のグラフは以下のグラフになります。
この２次関数のグラフは、ｙ＝Ｘ２のグラフを平行移動したグラフであり、ｙ＝Ｘ２のグラフと合同な形です。
（式２）の２次関数のグラフがｘ軸と交わる場合は
ｙ＝（Ｘ－ｍ）２－Ｄ＝０
とあらわされます。
これは、（式１）の二次方程式です。
ゆえに、（式２）のグラフがＸ軸と交わる点のＸ座標は（式１）の解です。
（式２）の２次関数のグラフは、
その左右対称の中心線のＸ座標がｍであり、ｘ軸より下の深さがＤです。
また、（式２）のグラフに合同なｙ＝Ｘ２のグラフでは、その高さがＤになる位置は、ｘ＝±（√Ｄ）の位置にあります。
ゆえに、（式２）のグラフのｘ軸との交点のＸ座標は、
Ｘ＝ｍ＋（√Ｄ），
Ｘ＝ｍ－（√Ｄ）
です。
これは（式１）の解です。
このＸ座標が、やさしい２次方程式の解の公式をあらわしています。
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二次関数のグラフの平行移動
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放物線の面白い性質を１つ書きます。
この話題は数学Ｃ（高校３年）で学びますが、数学ⅠＡ段階でも、以下の話は理解できるのではないかと思います。
ｙ＝ｘ２のグラフは以下の放物線グラフです。
このグラフのＡ点（０，１／４）はこの放物線の焦点と呼ばれています。
その理由は、この点Ａから放物線のＢ点（ｘ，ｙ）まで行って、そこから垂直に上に上がってＣ点（ｘ，４）まで行く経路の長さは、いつも同じ長さになるからです。
以下で、このことを示します。
ＡＢ＝√｛ｘ２＋（ｙ－（１／４））２｝
＝√｛ｘ２＋（ｘ２－（１／４））２｝
＝√｛（ｘ２＋（１／４））２｝
＝ｘ２＋（１／４）
一方、
ＢＣ＝４－ｙ
＝４－ｘ２
よって、
ＡＢ＋ＢＣ＝ｘ２＋（１／４）＋４－ｘ２
＝（１／４）＋４
このように、ＡからＣまでの経路の長さは、
いつも同じ長さになります。
【放物線による光線の反射】
放物線上のＢ点でおり曲がる経路と、Ｂ点の近くのＤ点でおり曲がる経路の長さが同じだと、どういうことがおきるかを、以下の図で考えます。
以下に示すように、この図の経路は、光線が放物線の部分ＢＤを鏡にした鏡で反射する経路になります。
先ず、Ｂ点でおり曲がる経路をＡＢＣとし、Ｄ点でおり曲がる経路をＡ１－Ｄ－Ｃ１とします。
経路ＡＢＣと経路Ａ１－Ｄ－Ｃ１は平行で、しかも、その長さが同じです。
経路ＡＢＣと経路Ａ１－Ｄ－Ｃ１の長さが同じであるため、
ＥＤ＝ＢＦ
となります。
△ＯＢＦと△ＯＤＥを考えると、
辺ＢＦ＝辺ＤＥであって、
α＝∠ＯＤＥ＝∠ＯＢＦであり、∠Ｒ＝∠ＯＦＢ＝∠ＯＥＤです。
このように２角侠辺が等しいので、△ＯＢＦと△ＯＤＥとは合同です。
また、△ＯＢＦと△ＯＤＥの残りの角である∠Ｏは
∠Ｏ＝∠Ｒ－α＝βであらわします。
△ＯＢＦと△ＯＤＥとは合同なため、ＯＢ＝ＯＤです。
そのため、三角形ＯＢＤは二等辺三角形になります。
その二等辺三角形ＯＢＤの頂角∠Ｏ（＝∠ＢＯＤ）＝βの２等分線ＯＨは底辺ＢＤに垂直に交わります。
線分ＢＤはβ＝∠ＥＤＨの二等分線になり、
β／２＝∠ＢＤＥ＝∠ＧＤＣ１ の関係があります。
経路Ａ１－Ｄ－Ｃ１を光線の経路と考えると、
∠ＢＤＥ＝β／２は入射する光線が線分ＢＤと成す角であって、
∠ＧＤＣ１＝β／２は反射する光線が線分ＢＤと成す角です。
そして、それらの角度が等しいので、光線の鏡への入射と反射の関係がなりたっています。
そのため、経路Ａ１－Ｄ－Ｃ１は、線分ＢＤの鏡に入射して反射する光線の経路と同じです。
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二次関数のグラフの平行移動
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第２講「２次関数とそのグラフ」（１）
ｙ＝ａｘ２のグラフと平行移動
ｙ＝ｘ２のグラフは以下のグラフであらわされます。
ｙ＝ａｘ２のグラフを考えるとき、
ｙ＝ｘ２の形の式に変形してからグラフを考えます。
すなわち、
ｙ＝ａｘ２のグラフは
（ｙ／ａ）＝ｘ２のグラフです。
例えばａ＝２の場合を考えます。
ｙ＝２ｘ２のグラフを考えるとき、
ｘ軸と（ｙ／２）軸（赤い字で示す）に関するグラフと考えれば、
このグラフは、（ｙ／２）軸に関しては、
下の図のように、
ｙ＝ｘ２のグラフと形が同じになります。
このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した（ｙ／ａ）軸を、ｙ軸に換算して考えればわかりやすくなります。
同じように、
ｙ＝（ｘ／ｂ）２のグラフを考えるとき、
ｙ＝ｘ２の形の式に変形してからグラフを考えます。
すなわち、
ｙ＝（ｘ／ｂ）２のグラフは、
ｂ＝３のとき、
下のグラフに赤字で示した（ｘ／３）軸とｙ軸に関するグラフと考えれば、
このグラフは、（ｘ／３）軸に関しては、
下のグラフのように、
ｙ＝ｘ２のグラフと形が同じになります。
このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した（ｘ／ｂ）軸を、ｘ軸に換算して考えればわかりやすくなります。
同じように、
ｙ－ｃ＝ｘ２のグラフを考えるとき、
（ｙ－ｃ）＝ｘ２の形の式に変形してからグラフを考えます。
例えば、ｃ＝１のとき、
ｘ軸と、下のグラフに赤字で示した（ｙ－１）軸に関するグラフと考えれば、
このグラフは、（ｙ－１）軸に関しては、
下の図のように、
ｙ＝ｘ２のグラフと形が同じになります。
このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した（ｙ－ｃ）軸を、ｙ軸に換算して考えればわかりやすくなります。
同じように、
ｙ＝（ｘ－ｄ）２のグラフを考えるとき、
ｙ＝ｘ２の形の式に変形してからグラフを考えます。
例えば、ｄ＝４のとき、
ｙ＝（ｘ－４）２のグラフは、
下のグラフに赤字で示した（ｘ－４）軸とｙ軸に関するグラフと考えれば、
このグラフは、（ｘ－４）軸に関しては、
下の図のように、
ｙ＝ｘ２のグラフと形が同じになります。
このように同じ形のグラフを書いてから、
上のグラフに赤字で示した（ｘ－ｄ）軸を、ｘ軸に換算して考えればわかりやすくなります。
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二次関数のグラフの平行移動
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やさしい解の公式は、以下の式です。
ｘ２＋２ａｘ＋ｂ＝０
を因数分解すると
［ｘ＋ａ＋√Ｄ］［ｘ＋ａ－√Ｄ］＝０
になる。ただし、Ｄ≡ａ２－ｂ
【問１】
次の２次方程式を解の公式を利用して解け。
３ｘ２－５ｘ－１＝０
ｘ２－２・（５／６）ｘ－（１／３）＝０
［ｘ－（５／６）＋（√Ｄ）］・［ｘ－（５／６）－（√Ｄ）］＝０
√Ｄ≡√｛（５／６）２＋（１／３）｝
＝√｛（２５／３６）＋（１２／３６）｝
＝√｛３７／３６｝
＝（√３７）／６
［ｘ－（５／６）＋（√３７）／６｝］
・［ｘ－（５／６）－（√３７）／６｝］＝０
ゆえに、
ｘ＝（５／６）－（√３７）／６，
ｘ＝（５／６）＋（√３７）／６
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二次関数のグラフの平行移動
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ａ
＋ｂＸ＋ｃ＝０ ①
この解の公式を導く。
以下のように変形すれば、この式を因数分解して、解の公式を導くことができます。
ａ
＋ｂＸ＋ｃ＝０
変形して以下の式を得る。
すなわち、上の様に定義した係数ＢとＣを使った式②を得た。
＋ＢＸ＋Ｃ＝０ ②
この式②を少し変形した式：
＋ＢＸ＋
＝０ ③
を考えます。
ここで、
はマイナスの数になることもできるもの（Ｇは虚数も可能）とします。
（補足）－－－－－－－－－－－－－－－－－
ここで、Ｇの二乗を使うのは、
この式③の全ての文字定数Ｂ，Ｇと変数Ｘに長さの「次元」を持たせて、式に、次元の色合いを付けるためです。
式に次元の色合いを付けると、式の中の各項の次元が全て同じになります。
その式を変形しても、その式の中の各項の次元が全て同じになります。次元が異なる項を持つ式は計算間違いです。これにより、計算間違いを見つけやすいという得をします。
－－－－－－－（補足おわり）－－－－－－－
更に変形した式：
＋２ＨＸ＋
＝０ ④
を考えます。
２Ｈ ≡ Ｂ
です。
【注意】以下の式の変形は
「ｘの有無項の二乗の引き算の公式」
を使った平方完成の公式を適用しています。
④式を変形して、
－
＋
＝０ ⑤
次に、
－
≡ Ｄ ≡
⑥
と定義した
を使って式を書き直す。
ここで、Ｋの二乗を使ったのは、
式の文字定数Ｋに長さの「次元」を持たせるためです。
－
＝０ ⑦
これは、因数分解できる。
《公式
－
＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
（Ｘ＋Ｈ－Ｋ）（Ｘ＋Ｈ＋Ｋ）＝０ ⑧
よって、Ｘは、
Ｘ＝－Ｈ＋Ｋ， ⑨
Ｘ＝－Ｈ－Ｋ ⑩
定数ＨとＫを元の係数を使ってあらわすと、
⑨と⑩を書きかえると、
これで、既に解の公式であるが、
これを良く知られた解の公式の形に変形してみれば、以下の式になる。
【二次方程式の解の公式を簡単にしておぼえる】
解の公式をすぐ応用できるようになるには、
以下のように簡単にした解の公式を覚えれば十分。
＋2ＨＸ＋
＝０ ④
変形して、
－
＋
＝０
－
≡ Ｄ ≡
⑥
と定義した
を使って式を書き変える。
－
＝０
これは、因数分解できる。
【
－
＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を覚えておくこと。】
（Ｘ＋Ｈ－Ｋ）（Ｘ＋H＋Ｋ）＝０
このように因数分解できることをおぼえてください。
あとの式は、いつでも導き出せます。
この因数分解から、Ｘは、以下の２つの解を持つ。
Ｘ＝－Ｈ－Ｋ，
Ｘ＝－Ｈ＋Ｋ
リンク：
平方完成の公式
２次関数のグラフの頂点に関する話
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高校数学は、中学とはうって変わって急に教わる項目が増えるので、
ついていくのがやっとだと思います。
これは大問題だとおもいます。
その大変な高校数学をなんとかこなして得意にするには、、
良い先生をみつけて、
難しい公式などもおぼえかた、コツなどを１つ１つ教わるのがコツ
と思います。
苦労した後で、なんだ、これを知っていれば、もっと楽に数学がわかったのに、、、
という経験をしたことがある良い先生に、そのコツを教えてもらうのが良いと思います。
ちなみに、私が数学が得意になったのは、自習によるところが大きかったです。
授業中にも、自分の問題を解いたりして
いつの間にか自習していたりしていたことも多かったです。
数学は、とにかく問題を自分で解くことが第１に大切です。
数学を学ぶ上で一番大切なこころがまえを言います。
「数学を勉強する目的は、楽な方法を教わるため」です。
数学は楽に解く方法を求めた集大成です。
少しでも楽に、楽に、数学を学ぶようにこころがけるのが数学の「心」だと思います。
どこかで、数学がわからなくなった場合、それ以降は、わからなくなります。
楽ではなくなります。
そいうときは、わからなくなった数学の話は一切聞く必要は無いと私は思います。
（わからなくても授業を聞いていれば、後で役立つ一片の言葉でも得られるかもしれない、
という甘い期待はいだかない方が良いです。
数学では、後で役立つ一片の知識は、自分自身で問題を解いて納得した知識です。
それが役に立つ宝だからです。）
（ただ、数学をきらいにならないで欲しいです。
わからない数学の授業時間は無駄なので、わからない授業は無視して、
自分のわからなくなったところから、参考書で自分の数学の勉強を自習するのが良いです。）
もし、数学の授業中には、そのように授業とはちがう自習をするのが困難なら、
わからない数学の授業中には英語の勉強でもして、後で落ち着いて自分の数学の勉強をするのも一つの方法と思います。
数学というのは、楽をするコツを自分で習得するものですので、自習の効果が
分からなくなった授業を聞くことに比べ１００倍ぐらい効果があります。
（分かる授業の効果は自習の２倍くらい効果があるとは思いますが、、）
それで、数学を得意になろうと思ったら、
分からなくなったところから、ていねいに教えてくれる先生をみつけて、
自分がわかるところから、次にわかることまで、教わりながら（自習の２倍から４倍の効果）
マイペースで勉強するのが良いです。
（高校数学勉強法）
というサイトを見つけました。
数学の勉強を始める時、「机をきれいに片づけてから」と後回しにせず直ぐするように、
と勧めていました。
これは、本質的に大切な事を教えてくれていると思いました。
私も、「机をきれいに片づけてから」数学をしようと考えた事はありませんでした。自分の机が片付いていなければ、自分の机以外の場所で数学の問題を解けば良いのです。
数学の勉強に限らず、何かを始める時、それを成功させる始め方を、そのサイトが教えてくれました。
また、「高校のランクは問題ではない、気にするな」 とも言っていました。まったく、その通りと思います。数学の勉強は自分次第です。
「今まで数学で落ちこぼれていたのも気にするな」という一言も加えたいと思います。数学は、きらいになっていなければ、いつでも急に学習が進むようになれる学問だからです。数学というものは、全く、自分次第でどうにでもできる学問だと思います。
（アカちゅー！）
という勉強方法のサイトを見つけました。
《▽勉強のさぼり癖を克服する方法 （if-thenプランニング）》
「強い意志がなくても簡単に毎日勉強を継続できる方法が存在します。
それは勉強を習慣にしてしまうことです。
なぜなら人間の生活の多くは習慣に支配されているから。」
なるほど、と納得できるサイトです。
リンク：
高校数学［三角比・図形］一覧
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