佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問】下図のようにＡ点が原点Ｏにあり、ＢＣがＸ座標軸に平行な三角形ＡＢＣの座標を図のように定義した上で、その三角形の垂心Ｄの座標を求めよ。
（１）点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前ＢとＣを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです。
（２） 高校２年になると、座標点Ｂの座標値の名前が、名前Ｂを引き継いだｂ１などの記号であらわすので、線分ＯＢの長さをｂで表します。
三角形の頂点Ｂに対向する辺ＯＣの長さは、高校１年までとは違って、ｂ以外の記号で（上図ではｃと）表します。
【解答】
上図のように、先ず、三角形の辺の直線の方程式を求める。
次に、その方程式のｘの係数とｙの係数を入れ替えて、一方の係数の正負を逆にすることで、その直線に垂直な直線の方程式を計算する。
その結果、２つの垂線の方程式が、以下のとおりに得られる。
（式１）＊ｂ１－（式２）＊ｃ１を計算して以下の式を得る。
（注意）Ｄ点のｘ座標が０ということは、ＡからＢＣに下ろした垂線にＤ点が交わることを意味する。すなわち、垂心は３つの直線の交点であることが示されている。
（式３）を式１に代入してｙ座標を求める。
∴Ｄの座標は、
上の式の最後の項では、ベクトルAB＝ベクトルｂとし、ベクトルAC＝ベクトルｃとした。
上の式の最初の項から、Ｄ点の辺ＢＣ上の高さは、
である。
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「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
以下の問１４をもう１度解きます。
【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、
（１）ＤＦ：ＦＣを求めよ。
【解答】
メネラウスの定理を証明するための補助線は、他の位置に引いても、
線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られます。
そのため、図形のどこにその補助線を引けば良いか、
もう１つの補助線の位置もおぼえておきましょう。
この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のＡＧであり、ＤＣに平行な線です。
この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
（メネラウスの定理を経由せずに）
直接にこの問１４を解きます。
線分ＡＧの長さをｍとします。
ＤＦ＝（ＤＢ／ＡＢ）ｍ＝（２／３）ｍ
ＦＣ＝（ＥＣ／ＡＥ）ｍ＝（３／２）ｍ
ＤＦ／ＦＣ＝（（２／３）ｍ）／（（３／２）ｍ）
＝４／９
∴
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
リンク：メネラウスの定理関係
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「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
【問１４】△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣをそれぞれ１：２、２：３に内分する点をＤ，Ｅとし，ＢＥとＣＤの交点をＦとするとき、
（１）ＤＦ：ＦＣを求めよ。
【解答】
メネラウスの定理は、
補助線を良い位置に引けば、線の長さの比の関係のメネラウスの定理が得られる
という定理です。
そのため、図形のどこに補助線を引けば良いか、
図形が回転した位置にあってもわかるようにおぼえておきましょう。
この問題にメネラウスの定理を適用すべき補助線の位置は、
図に赤線で書きこんだ位置のＤＧであり、ＢＥに平行な線です。
この位置に補助線を引けばメネラウスの定理が得られますが、
以下では、この補助線を引いたことで分かる線分の長さの比の関係を直接に使って、
（メネラウスの定理を経由せずに）
直接にこの問１４を解きます。
ＧＥ＝（ＤＢ／ＡＢ）・ＡＥ＝（２／３）ＡＥ
ＤＦ／ＦＣ＝ＧＥ／ＥＣ
＝（２／３）ＡＥ／ＥＣ
＝（２／３）・（２／３）
＝４／９
∴
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
【究極の方法】
上の解き方では、補助線を引いて問題を解きましたが、その補助線を考えるのも面倒くさいと思います。
以下の様に考えると、問題をもっと楽に解けます。
問題の平面図形を３次元空間に配置します。
３次元空間での点の高さを括弧（）内に書きます。
上図のように直線ＢＦＥの高さを（０）にし、点Ａの高さを（６）にします。
３次元空間における直線ＡＤＢにおいて、
ＡＤ：ＤＢ＝１：２
の関係があることから、
点Ｄの高さは（４）になる。
直線ＡＥＣにおいて、
ＡＥ：ＥＣ＝２：３
の関係があることから、
点Ｃの高さは（－９）になる。
直線ＤＦＣの点間の距離の比については、
点の高さの比を考えると、
ＤＦ：ＦＣ＝４：９
（解答おわり）
リンク：メネラウスの定理関係
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【問】上の図形で、点Ａから円Ｏへ引いた２つの接線ＡＰとＡＱが円と接する点ＰとＱを通る直線上の点Ｂを選ぶ。
（点Ａと直線ＰＱとの関係は、以下のように名付けられています。すなわち、点Ａが極であり直線ＰＱが極線です。）
そのとき、点Ｂから円Ｏへ引いた２つの接線ＢＲとＢＳが円と接する点ＲとＳを結んだ線分ＲＳの延長線が点Ａを通ることを証明せよ。
この問題は難問だと思いますので、以下の解答を見て、証明の仕方を覚えるだけで良いと思います。
円の中心をＯとする。
円の中心と各点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓを結ぶ補助線を引く。
その補助線とその補助線の端と接続する各接線とのなす角度は直角である。
補助線ＯＡを引いて、それと線分ＰＱとの交点をＴとする。
線分ＯＡと線分ＰＱは直交する。
補助線ＯＢを引いて、それと線分ＲＳとの交点をＵとする。
線分ＯＢと線分ＲＳは直交する。
△ＯＴＰと△ＯＰＡは、いずれも直角三角形で、２角が等しいから相似である。
そのため、
ＯＴ：ＯＰ＝ＯＰ：ＯＡ
∴ ＯＴ・ＯＡ＝ＯＰ２ （１）
同様にして、△ＯＵＲと△ＯＲＢは相似な直角三角形であるので、
ＯＵ・ＯＢ＝ＯＲ２ （２）
円の半径ＯＰ＝ＯＲである。
この関係を使って、式（１）と式（２）から、以下の関係が得られる。
ＯＴ・ＯＡ＝ＯＵ・ＯＢ （３）
以下のように、方べきの定理の逆の関係が成り立っている
線分ＴＡの延長線と線分ＵＢの延長線とが点Ｏで交わり、式（３）の関係があるので、
４点Ｔ，Ａ，Ｕ，Ｂは、下図のように、１つの円周上にある。
その新しい円について、
円周角の∠ＡＴＢ＝∠ＡＵＢ＝∠Ｒ
∴ ＵＢとＵＡは直交する。
一方、ＵＢとＵＳは直交する。
ＵＳもＵＡもＵＢに直交するので、
ＵＳとＵＡは同一直線上にある。
∴ ＵＡと、点Ｕを含む線分ＲＳは同一直線上にある。
すなわち、線分ＲＳの延長線が点Ａを通る。
（証明終わり）
（この定理の双曲線への応用は、ここをクリックしてジャンプする）。
リンク：
極と極線
ベクトル方程式による極と極線
放物線の極線
放物線の極と極線
複素数平面での円の極と極線
円の性質
方べきの定理の証明
リンク：高校数学の目次
第６講「円の性質」（１）円周角（２／２）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
【定理１５】円の弦ＡＢの延長と円周上の点Ｔにおける接線が点Ｐで交わるとき、次のことが成り立つ。
ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ２
（これを「方べきの定理」と呼ぶ）
【証明】
上図のように書くと、
接弦定理により〇＝∠ＰＴＡ＝∠ＰＢＴ
∠Ｐは共通だから、
２角相当で、
△ＰＡＴ∽△ＰＴＢ
したがって、
ＰＡ／ＰＴ＝ＰＴ／ＰＢ
すなわち、
ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ２
（証明おわり）
《点Pが円内にある場合の方べきの定理》
リンク：
方べきの定理（の逆）の応用問題１
円の性質
高校数学の目次
以下の問題はやさしいですが、重要な事を伝えているので、大学の図形専門の数学教授が思わず入試問題に出してしまう問題と思います。
【問】上の図形のように円ＯとＯ’が点ＰとＱで交差している。上図のように、点Ｐを通る直線が円Ｏ’とＡで交わり、円ＯとはＢで交わる。また、点Ｑを通る直線が円Ｏ’とＣで交わり、円ＯとはＤで交わる。
このとき、線分ＡＣと線分ＢＤが平行になることを証明せよ。
これに解答するためのヒントの図形を以下に書きます。
リンク：
リンク：高校数学（三角比・図形）一覧
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三角形の底辺を垂線で分割した線分の長さの積は垂心の高さに比例する、という垂心の性質があります。
【定理】△ＡＢＣの３頂点Ａ，Ｂ,Ｃからそれぞれ直線ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに引いた３本の垂線は１点Ｈで交わる。
【証明】以下でおぼえやすいと思われる自然な流れの思考パターンでこの定理を証明してみましょう。
上図のように、垂線ＡＤと頂点Ｂから引いた垂線ＢＥとの交点をＨとします。
この図に、同じ角度だとわかる角度と、長さが分かる線の長さをことごとく書き込むと答えが見えてきます。
上図の各線分の長さをａ１，ａ２，ｈ，ｈ１と名づけます。
すると、
三角形ＢＤＨと三角形ＡＤＣが相似であるので、
ｈ１／ａ１＝ａ２／ｈ
ゆえに：
交点Ｈの高さすなわちＤＨの長さｈ１＝（ａ２・ａ１）／ｈ
になります。
この式は、垂線ＡＤと線分ＢＣとの関係だけであらわされています。
同様にして、
頂点Ｃから線分ＡＢに垂直に引いた垂線と垂線ＡＤとの交点の高さｈ１’も、
交点の高さｈ１’＝（ａ２・ａ１）／ｈ
になります。
そのため、その交点はＨと同じ位置になります。
よって、
△ＡＢＣの３頂点Ａ，Ｂ,Ｃからそれぞれ直線ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに引いた３本の垂線は１点Ｈで交わります。
（証明おわり）
リンク：
方べきの定理
三角形の重心
三角形の重心の性質の別解
三角形の外心
三角形の内心
リンク：高校数学（三角形の性質）
リンク：高校数学の目次
【問】三角形の外接円の半径Rを三角形の３辺からもとめる。
この問題は、三角形の外接円の半径が、正弦定理で三角形の１つの角度と関係していることと、
三角形の１つの角度が、余弦定理で三角形の３辺に関係していること
を使えば解けます。
先ず、正弦定理を思い出します。
この正弦定理から、
（１／Ｒ）＝２ｓｉｎＡ／ａ （１）
が得られます。
次に、三角形の辺の二乗の引き算の公式を変形して余弦定理を導き出して思い出します。
この余弦定理から、
２ｃｏｓＡ／ａ＝（ｂ２＋ｃ２－ａ２）／（ａｂｃ） （２）
が得られます。
ｓｉｎＡ２＋ｃｏｓＡ２＝１ （３）
の関係に、この２つの式を代入します。
（１／Ｒ）＝２ｓｉｎＡ／ａ （１）
２ｃｏｓＡ／ａ＝（ｂ２＋ｃ２－ａ２）／（ａｂｃ） （２）
その代入の準備として、式３を少し変形します。
ｓｉｎＡ２＋ｃｏｓＡ２＝１ （３）
（（２ｓｉｎＡ／ａ）２＋（２ｃｏｓＡ／ａ）２）＝（２／ａ）２ ，
これに、式１と式２を代入します。
（１／Ｒ）２＋｛（ｂ２＋ｃ２－ａ２）／（ａｂｃ）｝２＝（２／ａ）２
この式を（１／Ｒ）だけを左辺にした式に変形します。
（１／Ｒ）２
＝（２／ａ）２－｛（ｂ２＋ｃ２－ａ２）／（ａｂｃ）｝２
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝｛（２／ａ）－（ｂ２＋ｃ２－ａ２）／（ａｂｃ）｝
｛（２／ａ）＋（ｂ２＋ｃ２－ａ２）／（ａｂｃ）｝
＝｛（２ｂｃ）－（ｂ２＋ｃ２－ａ２）｝
｛（２ｂｃ）＋（ｂ２＋ｃ２－ａ２）｝／（ａｂｃ）２
＝｛（２ｂｃ）－ｂ２－ｃ２＋ａ２｝
｛（２ｂｃ）＋ｂ２＋ｃ２－ａ２｝／（ａｂｃ）２
＝｛－（ｂ－ｃ）２＋ａ２｝｛（ｂ＋ｃ）２－ａ２）｝／（ａｂｃ）２
《公式Ｐ２－Ｑ２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う》
＝｛（－（ｂ－ｃ）＋ａ）（（ｂ－ｃ）＋ａ）｝
｛（（ｂ＋ｃ）－ａ）（（ｂ＋ｃ）＋ａ）｝／（ａｂｃ）２
＝（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）
（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）／（ａｂｃ）２
よって、
Ｒ２＝（ａｂｃ）２／｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝
Ｒ＝（ａｂｃ）／√｛（－ｂ＋ｃ＋ａ）（ｂ－ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｂ＋ｃ＋ａ）｝
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三角形の重心三角形の重心の性質の別解
三角形の外心
三角形の内心
リンク：高校数学（三角形の性質）
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（三角形の面積と内接円の半径の関係）
三角形の３つの内角の２等分線は、１点で交わり、その点から３辺までの距離は等しい。
その１点を三角形の内心と呼ぶ。
そして、その内心を中心として３辺に接する円を三角形の内接円とよびます。
【例題】△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃとし、内接円の半径をｒとするとき、△ＡＢＣの面積Ｓは次の式で表わされることを示せ。
Ｓ＝ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ）／２
内接円の中心（内心）をＩとすると、
△ＩＢＣは、底辺ＢＣに対する高さはｒです。
そのため、その面積は ａ・ｒ／２ です。
同様に、
△ＩＣＡも、底辺ＣＡに対する高さはｒです。
そのため、その面積は ｂ・ｒ／２ です。
△ＩＡＢも、底辺ＡＢに対する高さはｒです。
そのため、その面積は ｃ・ｒ／２ です。
以上から、△ＡＢＣの面積Ｓは、
Ｓ＝△ＩＢＣ＋△ＩＣＡ＋△ＩＡＢ
＝ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ）／２
になります。
（例題おわり）
三角形のＩＢＣの三角形ＡＢＣに対する面積比から、内接円の半径ｒが上の式のように、三角形の高さｈから求められる。
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高校数学の目次
「三角錐の重心Ｏの位置は、その高さの４分の１になります。」
以下に、三角錐の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角錐の重心を３次元座標の原点Ｏにして考えます。
三角錐ＡＢＣＤの頂点の座標の平均
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）／４
が三角錐の重心です。
図のように、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝（０，０，０）となるように座標を定めます。
ここで、三角錐の底面の三角形ＢＣＤの重心Ｇを定めると、
Ｇの座標は、
Ｇ（（b+c+d）／３，（e+f+g）／３，（h+k+m）／３）＝－Ａ／３
になり、
ＯＧは０Ａに平行で長さが３分の１
の関係があることがわかります。
すなわち、ＡＧは重心Ｏ点を通ることがわかり、
線分ＡＧが点Ｏで３：１に分割されることもわかります。
すなわち、
三角錐の重心Ｏの位置は、その高さの４分の１になる
ことがわかります。
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高校数学の目次
以下に、三角形の重心の性質の簡単な求め方を示します。
上の図のように、三角形の重心を座標の原点Ｏにして考えます。
三角形ＡＢＣの頂点の座標の平均
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）／３
が三角形の重心です。
図のように、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝（０，０）となるように座標を定めます。
Ｂ（ｂ，ｄ）、
Ｃ（ｃ，ｅ）、
Ａ（－ｂ－ｃ，－ｄ－ｅ）と座標を定めれば
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝０になります。
ここで、ＢＣの中点Ｋを定めると、
Ｋの座標は、
Ｋ（（ｂ＋ｃ）／２，（ｄ＋ｅ）／２）＝－Ａ／２
になり、
ＯＫは０Ａに平行で長さが２分の１
の関係があることがわかります。
すなわち、ＡＫは重心Ｏ点を通ることがわかり、
線分ＡＫが点Ｏで２：１に分割されることもわかります。
同様な証明のしかたで、三角錐の重心の性質もわかります。
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高校数学の目次
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
三角形の重心の性質の証明は教科書に書いてある通りですが、それを習った上で、
三角形の重心の性質をより速く思いだせるようになるために、
以下の証明方法もおぼえておいてください。
三角形の重心の性質の簡単な証明方法はここをクリック
次に、三角形の重心にかかわる大切な性質を証明する以下の問題を解きます。
【問８】△ＡＢＣの重心をＯとすると、△ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡの面積はすべて等しいことを示しなさい。
下の図のように、三角形の各辺の中点と三角形の頂点とを結んだ図を書きます。
重心の性質から、線分ＯＫは線分ＡＫの長さの３分の１ですから、
△ＯＢＣの高さは△ＡＢＣの高さの３分の１です。
△ＯＢＣ＝△ＡＢＣ／３
同様に、
△ＯＡＢ＝△ＡＢＣ／３
△ＯＣＡ＝△ＡＢＣ／３
そのため、
△ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡの面積はすべて等しく、△ＡＢＣ／３になります。
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【問】三角形の３辺の長さがａ，ｂ，√（ａ２＋ａｂ＋ｂ２）であるとき、最大角の大きさを求めなさい。
【解答開始】
ここで、ａ，ｂ以外の辺が√（ａ２＋ｂ２）なら角θは９０度ですが、その辺がそれより大きいことから、角θは９０度以上ということがわかります。
三角形の内角の和は１８０度ですから、１つの角度が９０度より大きければ、それ以外の角度はすべて９０度以下です。
そのため、９０度より大きい角θがこの三角形の最大角になります。
（余弦定理を思い出す）
（これが余弦定理）
この余弦定理を使います。
上の図のように辺ａと辺ｂの間の頂点をＣとする三角形を書きます。
そして、余弦定理でｃｏｓ（∠Ｃ）＝ｃｏｓ（θ）を求めます。
そのｃｏｓ（θ）の値が－１／２になったので、
角θは１２０°です。
（解答おわり）
【別解】
三角形の辺の二乗の引き算の公式により：
（解答おわり）
リンク：高校数学の目次
上図のように、ＡＥに平行な補助線ＱＣを引くと
ｃ：ｂ＝ｍ：ｎ
となることがわかります。
下図の様に、ＡＥを水平線と考えると、水平線に対してＡＢが成す角とＡＣが成す角が等しい。
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上図のように、ＡＤに平行な補助線ＰＣを引くと
ｃ：ｂ＝ｍ：ｎ
となることがわかります。
（つぶれた三角形１）点Ａが直線BC上で、辺ＢＣ内（点BとCは含まない）にある場合は、つぶれた三角形である。その場合、∠ＢＡＣは１８０°になる。その∠ＢＡＣを２等分する直線ADは辺BCに垂直になる。その場合は、Ａ＝Ｄになる。A=Dの場合は、ｃ＝ｍ、ｂ＝ｎになる。しかし、A=Dの場合は、線分ＡＤが１点になってしまうので、線分ＡＤの方向を定める事ができず、∠ＢＡＣが２等分されているとは言えない。
（つぶれた三角形２）点Ａが、直線BC上で、辺ＢＣの外にある場合（点BとCは含まない）は、つぶれた三角形である。その場合は、∠ＢＡＣは０°になる。その∠BACを二等分する直線ＡＤは直線ＢＣと平行になる。その場合は、Ｄの辺BC上の位置は定まらない。その場合は、c:b＝m:nという関係は無い。
（つぶれた三角形３）点Aが点B又は点Cと一致する場合は、点Aとそれが一致する点を結ぶ線分AB又は線分ACが１点になってしまうので、その線分の方向を定めることができず、∠BACは９０°であるとも言えず（∠BAC＝０°もあり得る）、∠BACの大きさが定まらない。そのため、∠BACを二等分する直線ADの点Dの辺BC上の位置も定まらない。
そういうわけで、つぶれた三角形の場合には、∠Aを二等分する線分ADに関して、ｃ：ｂ＝ｍ：ｎの関係があるとは言えない。
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【問】次の図において、辺の長さx,yを求めなさい。（３）ＡＤ//ＥＦ//ＢＣ
平行線間の線分の長さの比が同じ。
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第４講「図形の計量」（４）球の体積と表面積（その３／３）
「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の学習
【練習問題２３】１辺の長さがａである正四面体について、次の問に答えなさい。
（３）この正四面体に内接する球の半径ｒを求めなさい。
教科書の解き方が一番良いと思いますが、それとは異なる解き方をしてみます。
正四面体に内接する球の中心は４つの面それぞれから半径ｒの距離の位置にあります。
それで、Ｏを頂点として１つの面を底面（面積Ｓ）とする三角錐が正四面体の４面の数だけできます。その４つの三角錐の形は合同です。その三角錐の高さはｒになります。
そのため、
その三角錐の体積×正四面体の面の数＝正四面体の体積（Ｖ）になり、
三角錐の体積に関して以下の関係が成り立ちます。
Ｓ・ｒ／３＝Ｖ／４＝（Ｓ・（正四面体の高さ）／３）／４
この式を変形します。
ｒ＝（正四面体の高さ）／４
＝（（√６）／３）ａ／４
＝（（√６）／１２）ａ
（参考）正四面体の重心位置は高さの４分の１
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（１）点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前ＢとＣを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです。
（式１）＊ｂ１－（式２）＊ｃ１を計算して以下の式を得る。
（注意）Ｄ点のｘ座標が０ということは、ＡからＢＣに下ろした垂線にＤ点が交わることを意味する。すなわち、垂心は３つの直線の交点であることが示されている。
∴Ｄの座標は、
上の式の最後の項では、ベクトルAB＝ベクトルｂとし、ベクトルAC＝ベクトルｃとした。
である。
